Conduct of modern science– 2016 • Díl 1

MATERIALS OF THE XVI INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND PRACTICAL CONFERENCE ★ March 30 - April 7, 2020
Remark 1. Suppose that L is a characteristically nilpotent Leibniz algebra with 
multiplication [x,y]. Since the mapping R x : L ^ L, defined by R x(y) = [y,x],y e L 
is a derivation for every x in L by Engel's Theorem, L will then be a nilpotent Leibniz 
algebra.
The set Z(L) = {z e L :[x,z] = [z, x] = 0, Vx e L} is called 
the center o f L.
Lemma 1. If L is characteristically nilpotent Leibniz algebra, then
(1) the center of L is contained in [L,L]; 
(2) L3 ^0.
These statements are necessary conditions for the Leibniz algebra to be 
characteristically nilpotent.
Example 2. An arbitrary n-dimensional null-filiform Leibniz algebra is 
isomorphic to the algebra: NFn: [ei,e1] = ei+1, 1 < i < n -1, where {e1, e2,...,en} is a 
basis of the algebra NFn.
In this case for the algebra NFn conditions are true
(1)Z(NFn)={en} С [NFn,NFn]={e
2
, . . . , en};
(
2
)NFn3={e
3
,...,en}^
0
, but NFn algebra is not characteristically nilpotent. 
Because it has non-nilpotent derivation.
Theorem 3. Let L be a nilpotent Leibniz algebra. If L is the direct sum of two 
non-zero ideals one of which is central, then D(L) is not nilpotent.
References
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Dordrecht, 1998, pp. 1-12.
2.Bloch, A. M., On a generalization of the concept of Lie algebra. Dokl. Akad. 
Nauk SSSR, 18 (1965), 3, 471-473
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Math. Soc, 8 (1957), 155-158.
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Amer. Math. Soc. 6 (1955), 281-283.
5.Ladra M., Rikhsiboev I.M., Turdibaev R.M., Automorphisms and derivations 
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J., 26 (1959), 623-628.
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de Leibniz, L'Enseignement Mathematique, 39 (1993), 2, 269-293
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