Conduct of modern science– 2016 • Díl 1

Science without borders - 2020 ★ Volume 14
Definition 1. A vector space with a bilinear bracket 
( l , [ - , - ] )
is called a 
Leibniz
algebra
if for any x, y,z e L the so-called Leibniz identity holds 
[x,[y,z]] = [[x, y ],z ]- [[x, 4 y ] .
For a given Leibniz algebra L, we define 
the lower central series
of two-sided 
ideals defined as follow:
L1 = L, Lk+1 = [Lk,L], k > 1.
Definition 2. A Leibniz algebra L is said to be 
nilpotent,
if there exists n e N 
such that Ln = 0.
Definition 3. A linear map d : L ^ L of a Leibniz algebra 
( L , [ - , - ] )
is said to 
be a 
derivation
if for all x,y e L the following condition holds: 
d([x,y]) = [d(x),y] + [x,d(y)].
Theorem 1 .[5] Let L be a finite-dimensional complex Leibniz algebra which 
admits a non-degenerate derivation. Then L is nilpotent.
Example 1. Let L be an n-dimensional filiform Leibniz algebra and {e
1
, 
e2,...,en} be a basis L with the following multiplication:
[e1,e1]=e3, [ei,e
1
]=ei+
1
, 2< i< n-1,
[e1,e2]=e4, [ei,e
2
]=ei+
2
, 2Every derivation of L is nilpotent, so L is a characteristically nilpotent Leibniz 
algebra.
^0
0
a3 a4
a5 .
• 
a n - l
a n 
^
0
0
a3 a4
a5 •
• 
a n - l
bn
0
0
0
аз
a4 .
• 
a n - 2
bn-i
0
0
0
0
0 
. . 
0
а з
v 0
0
0
0
0 
. . 
0
0 J
Definition 4. A nilpotent Leibniz algebra is called characteristically nilpotent if 
all its derivations are nilpotent.
Theorem 2. [1] A Leibniz algebra L is nilpotent if and only if R{x} is nilpotent 
for any x in L.
130

---