Conduct of modern science– 2016 • Díl 1

MATERIALS OF THE XVI INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND PRACTICAL CONFERENCE ★ March 30 - April 7, 2020
MATHEMATICS
SOME NILPOTENT LEIBNIZ ALGEBRAS
Shermatova Z.Kh.
Institute o f Mathematics named after V.I. Romanovski
Abstract
Our aim in this work is to extend to Leibniz algebras a classical result of Lie 
algebras due to Leger and Togo. This extension requires, in turn, extension to Leibniz 
algebras of the concept of characteristically nilpotent algebras introduced by Dixmier 
and Lister for Lie algebras.
Keywords: 
Lie 
algebra, 
Leibniz 
algebra, 
derivation, 
nilradical, 
characteristically nilpotent algebra, filiform Leibniz algebra.
In 1955, Jacobson [4] proved that every Lie algebra over a field of characteristic 
zero admitting a non-singular derivation is nilpotent. The problem whether the inverse 
of this statement is correct remained open until an example of an 8-dimensional 
nilpotent Lie algebra all of whose derivations are nilpotent was constructed by Dixmier 
and Lister [3]. They called such type of algebras characteristically nilpotent Lie 
algebras. The notion of characteristically nilpotency of Lie algebra has been studied by 
Leger and Togo [6].
Let L be a Lie algebra over a field F and D(L) be the set of all derivations of L
algebra. 
Put 
L 1 = D (L )L = | ^ D ^
e{
e L, 
e D (L)jand 
define 
inductively
L[k]=D(L)L[k-1] for k>2.
L is called 
characteristically nilpotent
provided there exists an integer n such 
that L[n]=0. Then L is characteristically nilpotent if and only if D(L) is nilpotent and L 
is not one-dimensional.
Leibniz algebras were discovered by Bloch in 1965 [2] who called them D- 
algebras. Later on they were considered by Loday [7] as a non-antisymmetric 
generalization of Lie algebras. Since then many researchers are working on them, many 
results on Lie algebras have been extended to the Leibniz algebra case.
129

---