Citations reads

4. Eyler oshkor usulining yaqinlashishi

Faraz qilaylik, y(xi) – yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining xi tugundagi yechimi, yi – Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugund-agi toʻr yechimi boʻlsin. Ushbu

i = y(xi) – yi ,	i = 0, 1, …, N	(26)
miqdor toʻr yechimning xi tugundagi xatoligi, ushbu
i=y(xi) – yi ,	i = 0, 1, …, N	(27)

miqdor toʻr yechimning xi tugundagi absolyut xatoligi deb ataladi. Shunday savol tugʻiladi, toʻr qadami nolga intilganda (27) miqdorlar

ham nolga intiladimi:
h0 da	max i  0	,	(28)
	i0,1,...,N

yani toʻr cheklanmagan holda maydalashtirilib borilsa bu miqdorlar nolga intiladimi?

Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning oʻng tarafi-dagi f funksiyaga shunday qoʻshimcha shart qoʻyishimiz lozimki, bu tenglamaning bizga kerakli boʻlgan yechimi [x0, x0+L] kesmada mavjud, yagona va silliq boʻlsin. Aynan shunday deb oʻylaylikki, f funksiya x, y oʻgaruvchilar juftligi tekisligidan x0  x  x0+L tengsizlik bilan olingan kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda chegaralangan boʻlishi ham lozim:

f(x,y)  M1, barcha x  [x0, x0+L] va y  R lar uchun. (29) Bundan tashqari, oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qoʻyish

bilan birga biz tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiya hosilasining ham shu kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qoʻygan boʻlamiz:

fx(x,y)  M2, barcha x  [x0, x0+L] va y  R lar uchun. (30)
fy(x,y)  M3, barcha x  [x0, x0+L] va y  R lar uchun. (31) (29)-(31) formulalardagi M1, M2, M3 oʻzgarmaslar kenglikning barcha
nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar.

Faraz qilaylik, yi , yi+1 – Eylerning oshkor usuli bilan xi , xi+1 tugun-larda topilgan toʻr yechimlar, y⁽ⁱ⁾ – (1) differensial tenglamaning grafigi (xi

• 
  yi) nuqtadan oʻtuvchi yordamchi yechimlari (yaʼni (15)-(16) Koshi masa-lasining yechimlari) boʻlsin.
  

y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimning xi+1 tugundagi y⁽ⁱ⁾(xi+1) qiymati uchun toʻr yechimning ushbu

i+1 = y(xi+1) – yi+1

xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha:

15

i+1 = (y(xi+1) – y⁽ⁱ⁾(xi+1))+
+( y⁽ⁱ⁾(xi+1) – yi+1),

yaʼni uni ikkita qoʻshi-luvchilar yigʻindisi shaklida yoza olamiz:

^ i 1

  i^(^11^)  i^(^21^) ,

(32)

bunda



(1)

i1

)  y

(i)

i1

)

, (33)

i1

 y(x

(x



(2)

 y

(i)

(x

)  y

.

(34)

i1

i1

i1

9-rasm.

33. 
    va (34) formulalardagi qoʻshiluvchilarning maʼnosini ochaylik. Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usuli algoritmining qara-
    

layotgan qadami [xi, xi+1] kesmada izlanayotgan y yechim grafigining boʻlagini y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechim grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagi bilan almashtirishdan iborat. Bu jarayon quyidagi ikki bosqichda amalga oshiri-ladi:

1) izlanayotgan y yechim grafigi y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechim grafigi bilan

almashtiriladi, natijada izlanayotgan y(xi+1) yechim oʻzining

y	(i )	( x	i1	)

yordamchi yaqinlashishiga (33) xatolik bilan almashtiriladi;

2. 
   y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechim grafigi unga oʻtkazilgan urinma – sodda toʻgʻri chiziq bilan almashtiriladi, natijada y ^{(i )} ( x_i1 ) yaqinlashish
   

qoʻshimcha (34) xatolik bilan yi+1 yaqinlashishga almashtiriladi. Yordamchi yechimni uning grafigiga oʻtkazilgan urinmasi orasidagi

xatolikni ifodalovchi (34) qoʻshiluvchi algoritmning (i+1)-chi qadamidagi qoʻshimcha xatolikni ifodalaydi. Shuning uchun u (i+1)-chi qadamidagi yoʻl qoʻyilgan lokal xatolik, boshqacha aytganda, (i+1)-chi qadamning lo-kal xatoligi deb ataladi.

33. 
    qoʻshiluvchining kelib chiqish maʼnosi esa boshqacharoq, yaʼni u oldingi xi tugundagi yi - toʻr yechim y(xi) - aniq yechimdan farq qilishidan kelib chiqadi (agar bu qiymatlar mos tushganda edi, u holda y⁽ⁱ⁾ – yordam-chi yechim yechimning yagonaligi haqidagi teoremaga koʻra izlanayotgan y yechim bilan mos tushgan boʻlar edi va (33) qoʻshiluvchining qiymati nolga aylanardi). Shunga koʻra yi va y(xi) miqdorlar orasidagi farq algorit-mning oldingi qadamida yoʻl qoʻyilgan lokal xatolikdan kelib chiqadi, shuning uchun (33) xatolik (i+1)-chi qadamning jamlangan xatoligi deb ataladi.
    

8-izoh. Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni oldindan berilgan y0 qiymat asosida y1 toʻr yechimni topishda urinma aslida izlanayotgan

16

yechimga oʻtkazilgan boʻladi (6-rasm), chunki bu holda jamlangan xatolik yoʻq va x1 tugundagi 1 – toʻr yechimning toʻla xatoligi birinchi qadamn-

ing	1	lokal xatoligi bilan mos tushadi. Keyingi qadamdan boshlab esa,
	( 2)

umumiyroq qilib aytganda, uhar ikkala xatolik noldan farq qilib boshlaydi.

Aynan ikkinchi qadamda ham		( 2)	- lokal xatolik va ham		(1)	- jam-
		2			2

langan xatolik birincha qadamda yoʻl qoʻyilgan y1 toʻr yechimning y(x1) aniq yechimdan farqi boʻlgan lokal xatolik hisobiga paydo boʻladi, shuning uchun y⁽¹⁾ yordamchi yechim izlanayotgan y yechimdan farq qilib boshlaydi.

Xuddi shunday, uchinchi qadamda, umuman aytganda, nolinchidan

boshqalarida, ham	3	2)	- lokal xatolik va ham	 3 - jamlangan xatolik x2
	(			(1)

tugundagi y2 tor yechimning y(x2) aniq yechimdan farqi hisobiga paydo boʻladi, yaʼni y2 tor yechimning xatoligi

₂  ₂⁽¹⁾ ₂⁽²⁾

.

Bu yerdagi ikkinchi qoʻshiluvchi lokal xatolik boʻlib, ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan, birinchisi esa ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan jamlangan

xatolik (bu xatolik birinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan	1	- lokal xatolik
	
	( 2)

hisobiga paydo boʻlgan). Shuning uchun uchinchi qadamdagi jamlangan xatolikni algoritmning oldingi birinchi va ikkinchi qadamlarida yoʻl qoʻyilgan lokal xatoliklarning natijasi deyish mumkin.

3-xulosa. Algoritmning (i+1)-chi qadamida xi+1 tugunda topilgan yi+1 toʻr yechimning xatoligi (32) yigʻindi boʻlib, bu (33) va (34) larning yigʻindisidan tashkil topgan, ularning birinchisi algoritmning oldingi qadamlarida yoʻl qoʻyilgan lokal xatoliklar taʼsirini ifodalaydi, ikkinchisi esa (i+1)-chi qadamdagi lokal xatolik.
Endi lokal xatolikni baholaylik.


2-lemma. Eyler oshkor usulining (i+1)-chi qadamdagi lokal xatoligi uchun quyidagi ifoda oʻrinli:

			1	y			x	  hh		,
	( 2)				(i )				2
	i1		2				i	i

1. 
    i
   


1
.
(35)

Isbot. (34) formuladagi y^{(i )} ( x_{i 1} ) miqdorni Teylor formulasi boʻyicha

yoyamiz,	i 1	miqdorni esa (12) – Eylerning oshkor usuli formulasiga koʻra
	y

almashtiramiz. Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:



( 2)





y

(i )

(x )  y



(x )h 

1

y

(i )



x

  hh

2



 y

 hf (x

, y ),

(i ) 



i1



i

i

2

i

i



i

i

i





bu yerda i – nol va bir orasidagi haqiqiy son. (15) va (16) ga koʻra

y^{(i )} (x_i )  y_i , y^{(i )} ^(x_i )  f (x_i , y^{(i )} (x_i ))  f (x_i , y_i ).
(36)

(37)

17

 _i⁽_¹₁⁾

 _i⁽_¹₁⁾
Bu qiymatlarni (36) ga qoyib, oʻxshash hadlarni ixchamlasak, (35) kabi ifodani beradi.


1-natija. Ixtiyoriy i = 0, 1, …, N–1 lar uchun quyidagi baholash oʻrinli:

	( 2)		1	M		 M M		h	,
								2
	i1		2		2	3	1

(38)

bu yerda M1, M2, M3 – (29)-(31) shartlardagi oʻzgarmaslar.
Isbot. (35) ifodadan quyidagiga ega boʻlamiz:

i^(^21^) 	1	y(i) ^xi i hh2 .	(39)
	2

Bu munosabatga kiruvchi y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimning ikkinchi hosilasi modulini baholaylik.

15. 
    tenglikni x boʻyicha differensiallaymiz, keyin esa shu tenglikdan yana bir bor foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:
    



x

f

x, y(i) x

f



f

x, y(i) x

f

x, y(i) x f x, y(i) x

y(i) 

y

x, y(i) x y(i)  x

y

.

x

x

Bu yerdan (29)-(31) shartlarga koʻra ixtiyoriy x[x0, x0+L] uchun quyidagi tengsizlik oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:

y



MM.

(i)

 x  M

2

3

1

Bu tengsizlikda

x  x



h

deb olib va natijani

(39)

tenglik bilan

i

i

solishtirib, (38) tengsizlikka kelamiz.

4-xulosa. Ixtiyoriy

i = 0, 1, …,

N–1

lar uchun



i1

lokal xatolik

( 2)

quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:

(40)



i1

2

(2)

,

 Mh

bu yerda M – oʻzgarmas boʻlib, M1, M2, M3 lar orqali quyidagicha ifodala-nadi:

M = (M2+ M3M1)/2.

(41)

Boshqacha qilib aytganda, barcha lokal xatoliklarning moduli h boʻyicha ikkinchi tartibli kichiklikka ega cheksiz kichik miqdor bilan baholanadi.

Endi jamlangan xatoliklarni tadqiq qilishga oʻtaylik.

Maʼlumki, yuqorida aytib oʻtilganidek, xatolik xi tugundagi toʻr

yechimning noldan farqli i xatoligi tufayli paydo boʻladi, shuning uchun xatolikni i xatolik orqali ifodalashga harakat qilaylik. Shuni

taʼkidlaymizki, i xatolik (1) differensial tenglamaning xi nuqtadagi ikkita

(i)	yechimlari orasidagi farq,		(1)	miqdor esa xuddi shu yechimlarning
y va y			i1

xi+1 nuqtadagi farqi (9-rasm). Shuning uchun differensial tenglamalar naz-ariyasidagi quyidagi dalilga tayanamiz.

18

3-lemma. Faraz qilaylik, y^I, y^II – berilgan (1) differensial tenglaman-ing ikkita yechimi, ,  ( < ) – berilgan [x0, x0+L] kesmaning ikkita nuqtasi boʻlsin (10-rasm). U holda bu yechimlarning ,  nuqtalardagi farqi quyidagi munosabat bilan bogʻlangan:

y

I

( )  y

II

( )

 y

I

()  y

II









(42)

() exp

 ^f y

(x, y(x))dx ,







bu yerda

I

II

y(x)

– ikkita y (x), y (x) yechimlarning oraliq qiymati.

Isbot. Faraz qilaylik, ushbu

z(x) = y^I(x) – y^II(x)

(43)

miqdor bu yechimlarning farqi boʻlsin. Bu miqdor qaysi differensial tenglamani qanoatlantirishini aniqlaylik.

43. 
    dan hosila olamiz, oʻrniga qoʻyishlardan keyin quyidagiga ega
    

boʻlamiz:

z (x) = f(x,y^I(x)) – f(x,y^II(x)).	(44)
Bu tenglikning oʻng tarafiga Lagranjning chekli orttirmalar formu-
lasini y oʻzgaruvchi boʻyicha qoʻllaymiz, natijada:	(45)
f(x,yI(x)) – f(x,yII(x)) = fy(x, y( x) )( yI(x) – yII(x)).

45. 
    va (43) formulalarni hisobga olib, (44) formuladan quyidagi tenglikni keltirib chiqaramiz:
    

z (x) = c (x)  z (x) ,			(46)
bu yerda c (x) funksiya oqrali quyidagi funksiya belgilangan:
c (x) = fy (x,		) ,	(47)
	y(x)

y^I, y^II yechimlarni har xil deb hisoblaylik (agar ular oʻzaro mos boʻlsa

42. 
    tenglikning toʻgʻriligi koʻrinadi). Aslida bu yechimlarning qiymatlari [, ] kesmaning biror nuqtasida ham mos tushmaydi, chunki agar y^I(x*) = y^II(x*) = y* tenglik oʻrinli boʻlganda edi, qaralayotgan differensial tenglama bilan berilgan Koshi masalasi ushbu y(x*) = y* boshlangʻich shartda ikkita har xil yechimga ega boʻlgan boʻlardi, bu esa berilgan tenglamaning oʻng tarafiga nisbatan farazimizga zid boʻlib chiqadi. Natijada (43) ifoda nolga aylanmaydi, shuning uchun, birinchidan, (46) tenglikni quyidagicha yozib
    

olish mumkin:

z(x)


z(x)

c(x)
,
(48)

ikkinchidan, c(x) uchun (47) ni (45) yordamida quyidagicha yozish mum-kin:

c(x) 	f (x, y ^I (x))  f (x, y ^II (x))		( y ^I )(x)  ( y ^II )(x)	.
	y ^I (x)  y ^II (x)		y ^I (x)  y ^II (x)

19

Bu yerdagi c(x) funksiyanig uzluksizligi haqida xulosa chiqarish uchun ikkita uzluksiz funksiyalar nisbatidagi maxraj nolga aylanmasligi lozim.

Oxirgi xulosa (48) differensial tenglamaning har ikkala tarafidan [, ] kesma boʻyicha aniq integral olishga imkon beradi, natija quyidagi tenglikni beradi:





z(x)


z(x)
dx

c(x)dx

.

Chap tarafdagi integralni z oʻzgaruvchi boʻyicha integral deb yozish mum-kin (haqiqatdan ham, integrallash oʻzgaruvchilarini almashtirish orqali):

z (  )



z ( )
dz z



• 
  c(x)dx
  


.

Bu integralni Nyuton-Leybnits formulasi boʻyicha hisoblab, quyidagi
tenglikka kelamiz:


ln z( )  ln z()  c(x)dx



yoki

ln	z( )
	z()




• 
  c(x)dx
  


,

bu yerda z funksiya musbat, aks holda y^I, y^II yechimlar teskari nomer-lanadi.

Bu yerdan logarifning taʼrifiga koʻra quyidagi munosabatga kelamiz:

z( )			
			
z()	 exp	c(x)dx
			

yoki


z( ) 

	
	

z()  exp




c(x)dx


.

Bu esa (43) va (47) larga koʻra (42) ni beradi.

2-natija. (i+1)-chi qadamning	 i1	jamlangan xatoligi xi tugundagi yi
	(1)

toʻr yechimning i xatoligi orqali quyidagi tengsizlik bilan baholanadi:

	i^(^11^)		 exp(M3h) 		i		,	(49)

bu yerda h – toʻr qadami, M3 – (31) shartdan olingan oʻzgarmas.

Isbot. (42) formulada y^I, y^II yechimlar sifatida izlanayotgan y yechimni va y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimni, ,  sifatida esa xi, xi+1 tugunlarni qabul qilaylik. Maʼlumki, bu yechimlarning xi tugundagi farqi yi toʻr yechimning I xatoligiga teng, shu yechimlarni xi+1 tugundagi farqi esa

20

(i+1)-chi qadamning ega boʻlamiz:



(1)

jamlangan xatoligi. (42) formuladan quyidagiga

i1











(1)

 





f



i1

i

 exp

y

(x, y(x))dx



.









Bu yerdan absolyut miqdorlarga oʻtamiz, eksponentaning musbat ekanligidan,

 ^xi 1
_i⁽¹⁾_1  _i  exp^_ 

 ^xi

		
f y	(x, y(x))dx^ .
		

(49) baholash uhbu

^xi 1



^xi 1



^xi 1



^xi 1

xi1  xi

 M 3h



^f y

(x, y(x))dx 



^f y

(x, y(x))dx 



^f y

(x, y(x)) dx 

M 3dx  M 3

xi

xi

xi

xi

munosabatlar zanjiridan va eksponentaning monoton oʻsuvchi funksiya ekanligidan kelib chiqadi:

Shunday qilib, (40) va (49) baholashlarni ketma-ket qoʻllash bilan Eyler oshkor usulining yaqinlashuvchanligini oʻrnatish mumkin.

1-teorema. Quyidagi tengsizlik oʻrinli:

	i	 C(M	, M	, M	)  h,	i  0,1,..., N,
		1	2	3

(50)

bu yerda C – oʻzgarmas boʻlib, (29)-(31) shartlardagi M1, M2, M3 oʻzgarmaslar va L – integrallash kesmasining uzunligi orqali topiladi.


Isbot. x0 tugundagi toʻr yechimning xatoligi uchun quydagi tenglik

oʻrinli:

	0



0

.

x1 tugunda jamlangan xatolik boʻlmaydi, shuning uchun (40) ga koʻra quyidagini yoza olamiz:

• 
   (2) 
  

11

Mh	2

.

x2 tugundagi xatolik uchun (40) va (49) larni e’tiborga olib quyidagiga ega boʻlamiz:

		 	(1)		 	(2)				 	(1)			 	(2)	 exp(M h)  				 Mh	2	
	2		2			2					2				2		3	1
exp(M				h)  Mh			2		 Mh			2		 (exp(M			h) 1)  Mh		2	.
			3
																3

Xuddi shunday, x3 tugun uchun quyidagi tengsizlikka ega boʻlamiz:

				(1)		 	(2)					(1)					(2)		 exp(M h)  										 Mh		2		
	3			3			3			3							3					3					2
exp(M					h)  (exp(M								h) 1)  Mh							2	 Mh		2	 (exp(2  M										h)  exp(M	h) 1)  Mh	2	.
				3
								3																								3	3

Endi oydinki, munosabatlani xuddi shunday davom ettirib, quyidagi tengsizlikka kelamiz:

21

		 exp((i 1)M	h)  exp((i  2)M	h)  ...  exp(2  M	h)  exp(M	h) 1 Mh	2
	i
		3	3	3	3

Hosil qilingan bu tengsizlikning oʻng tarafidagi qavs ichida chekli ge-ometrik progressiyaning hadlari yigʻindisi yozilgan boʻlib, uning maxraji q = exp(M3h) ga teng. Bu yigʻindi uchun quyidagi ifodadan foydalanamiz:

1  q

i



1  exp(i  M h)



exp(i  M h) 1

.

3

3

1  q

1  exp(M

3

h)

exp(M

3

h) 1

Bu yerdan esa quydagi tengsizlikni hosil qilamiz:

• 
  i  exp(i  M 3h)1 Mh2 . exp(M 3h) 1
  

(51)

Shuni taʼkidlaymizki, progressiya hadlarining yigʻindisi formulasida surat va maxrajning musbatligini taʼminlash uchun qoʻshiluvchilarning oʻrnini ham suratda va ham maxrajda almashtirdik.

51. 
    shartni kuchaytiramiz, buning uchun undagi kasrning suratini un-dan katta boʻlgan songa, maxrajini esa undan kichik boʻlgan songa al-mashtiramiz. Buning uchun suratdagi i indeksni uning maksimal qiymati N bilan almashtiramiz hamda (3) dan kelib chiquvchi Nh = L tenglikdan foy-dalanib, surat uchun exp(M3h) – 1 dan kattaroq boʻlgan songa ega boʻlamiz. Maxrajdagi exp(M3h) miqdorni esa eksponenta uchun qatorga yoyib, ulardagi 1 birlikni qisqartirib, natijada quyidagi munosabatga ke-lamiz:
    

1. 
   M 3h  1 (M 3h)2
   

1!2!

• 
  1 (M 3h)3 3!
  

 ....
,

bu yerda ikkinchi qoʻshiluvchidan boshlan barcha keyingilari qoʻshiluvchilar M3h dan kichik.
Natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz:

• 
  i  exp(M 3 L) 1 Mh2  M exp(M 3 L) 1 h.
  

M hM

3

3

Bu olingan baholash (50) baholashning aynan oʻzi, bunda (41) ga koʻra C oʻzgarmas quyidagiga teng:

C 	1		M2  M3M1	 exp(M 3 L) 1.	(52)
	2
			^M 3

3-natija. Maʼlumki, (50) baholashning oʻng tarafiga koʻra (52)

oʻzgarmas i dan bogʻliq emas, shuning uchun quyidagi baholash oʻrinli:

max		i		 Ch .	(53)
i0,1,..,N

22

Bu baholashdan toʻr qadamining nolga intilishi bilan toʻr yechimi xatolig-ining ham nolga intilishi (bunda u toʻr tugunlari boʻylab nolga tekis yaqin-lashadi) haqidagi (28) munosabat kelib chiqadi.


9-izoh. Agar M1, M2, M3 oʻzgarmaslar maʼlum boʻlsa, u holda toʻr

yechimni talab qilingan		*		aniqlik bilan olish uchun ushbu
				Ch 			*
yoki xuddi shu kabi
				CL/N 				*

tengsizlikni yechish talab qilinadi; bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi kesmalarni boʻlishlar soni N da toʻrning ixtiyoriy tugunida toʻr yechim xatoligining absolyut miqdori _* aniqlikdan oshib ketmaydi, bu (53) munosabatdan ham kelib chiqadi.

Agar koʻrsatilgan oʻzgarmaslar nomaʼlum boʻlsa (bu hol amaliyotda tez-tez uchraydi), u holda talab qilingan N qiymatni izlash uchun Runge qoidasi deb ataluvchi maxsus qoidadan foydalaniladi; bu qoidaga koʻra kesmani boʻlishlar soni har safar ikkilantirib boriladi va har safar berilgan aniqlikni taʼminlovchi N qiymatni topish uchun olingan toʻr yechimlar taqqoslanib boriladi.