Citations reads

5. Runge-Kutta usullari

Yuqorida tavsiflangan Eylerning oshkor va oshkormas usullari bir qadamli usullar sinfiga kiradi. Bu usullarning bunday deb atalishining sababi bu formulalar toʻrning yonma-yon ikkita tugunidagi toʻr yechimlar-ni oʻz ichiga olishi va ularning oldingi tugunda berilgan toʻr yechimdan foydalanib navbatdagi tugundagi toʻr yechimni topish imkonini berishi.

Bir qadamli usullarning yana boshqalari bu Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullaridir.

Eylerning toʻgʻrilangan usuli

y0 – berilgan,	y	 y			h	 f (x	, y ) 
			i
	i1				2	i	i

quyidagi munosabatlar bilan beriladi:

f (x	, y	 hf (x	, y	) 	, i = 1,2, …, N–1.(54)
i1	i	i	i

Eylerning modifikatsiyalangan usuli beriladi:

					h			h
y0 – berilgan,	^yi1	 yi	 hf  xi			, yi	
					2			2
			

esa quyidagi munosabatlar bilan


f (x_i , y_i ) _ , i = 1, 2, …, N–1. (55)

Bu usullarda oldingi qadamda hisoblangan yi yechimdan foydalanib yi+1 tugun yechimni topish ikki bosqichda bajariladi.
23

Eylerning toʻgʻrilangan usulida avvalo oldingi qadamdagi yi ning qiymati yuqorida tavsiflangan ushbu

y	 y  hf (x , y )			(56)
i1	i	i	i

Eylerning oshkor usuli formulasidan topiladi, undan keyin esa uning xi+1 tugundagi toʻr yechimi quyidagi formuladan foydalanib topiladi:

^yi 1	 yi		h	 f (xi , yi )  f (xi 1 ,		i 1 ^) .	(57)
					y
		2

Eylerning modifikatsiyalangan usuliga koʻra dastlab Eylerning oshkor usuli formulasi boʻyicha quyidagi yordamchi toʻr yechim i+1/2 «yarim bu-tun» nomer bilan xi+1/2=xi+h/2 oraliq tugunda topiladi:

			 yi				h		f (xi , yi ) ,
y		1
	i 					2
		2

keyin esa izlanayotgan yi+1 hisoblanadi:

y	i 1	

toʻr

y	i	

yechim

hf (x		,
	1		y
i 				i 
	2

quyidagi formula boʻyicha

1	)	.
2

Eylerning toʻgʻrilangan usulining geometrik maʼnosi quyidagicha

(10-rasm).
(1)	differensial		tenglamaning
y^(^i^) va	ȳ^(^i^+1) yechimlarining (xi,yi) va
(xi+1,ȳi+1) nuqtalar orqali oʻtuvchi mos
grafiklarini chizamiz, bunda ȳi+1 ning
qiymati (56) formula boʻyicha hisobla-
nadi, 1, 2 lar orqali esa koʻrsatilgan
nuqtalarda shu		grafiklarga oʻtkazilgan		10-rasm.
urinmalarning		x oʻq bilan tashkil

qilgan mos burchaklarini belgilaymiz. Keyin esa (xi,yi) nuqta orqali x oʻq bilan  burchak tashkil etuvchi shunday l toʻgʻri chiziq oʻtkazamizki, un-ing burchak koeffisiyenti, yaʼni tangensi 1, 2 burchaklar tangenslarining oʻrta arifmetigiga teng boʻlsin:

tg


1. 
   tg1
   
2. 
   

• 
  tg2
  


.

4-lemma. l toʻgʻri chiziqning xi+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi Eylerning toʻgʻrilangan usuli orqali xi+1 tugunda topilgan toʻr yechimi qiymati bilan mos keladi.
Isbot. l toʻgʻri chiziqning tenglamaini quyidagicha yozamiz:

	)  yi .
y(x)  (tg)(x  xi

24

Maʼlumki,

1

1

1

y



1



1

tg 

tg



tg



(i )

 (x ) 



y

(i 1)

 (x

i 1

) 

f x

, y

(i )

(x )

2

1

2

2

2

i

2

2

i

i



1

f

x

,

(i 1)

(x

)

1

f x

, y



1

f x

,

,

i 1

y

i 1

i 1

y

i 1

2

2

i

i

2

qaralayotgan toʻgʻri chiziqning tenglamasini quydagicha yozish mumkin:

y(x) 

Bu yerda x = xi+1 quyidagi miqdorni hosil

1	 f x	, y	 f x		,			(x
				i 1		y	i 1
2	i	i

kabi belgilash kiritib, qilamiz:

• 
  xi )
  

xi+1

 y	i .

– xi = h ekanligidan

		)  y			h	 f x	, y	
y(x	i 1		i
					2	i	i

6. 
   xi 1 , yi 1 
   

,

bu esa (57) ga koʻra oʻz navbatida yi+1 toʻr yechimga mos keladi.


10-izoh. Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida yi+1 yechimni topish uchun izlanayotgan yechimning [xi,xi+1] kesmadagi grafigi Eylerning osh-kor usulidagi kabi (xi,yi) nuqtadan oʻtuvchi boʻlagi bilan almashtiriladi. Ammo bu boʻlakning qiyaligini tanlash ancha mushkul, chunki Eylerning oshkor usuli yordamida (xi,yi) nuqtaga qoʻshimcha ravishda (xi+1,ȳi+1) nuqta ham quriladi va bu qiya chiziqning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchagi tangensi deb berilgan differensial tenglamaning shu nuqtalardan oʻtuvchi yechimlari grafiklariga oʻtkazilgan urinmalarning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchaklari tangenslarining oʻrta arifmetigi olinadi.

Yana bir bor taʼkidlaymizki, bu burchaklarning oʻzlari emas, balki ularning tangenslari oʻrtalashtiriladi.