Citations reads

h

 f (x

, y

)  f (x

 h, y

 hf (x

,

i 1

i

i

i

2

i

i

i

f

f

'(x

, y

)  h  f

'(x

, y

)  h  f (x

, y

) 

1

x

y

i

i

i

i

i

i

2

~

~

~

~

 2 f

) h h  f (x

, y

)  f

)

h

xy

''(x

, y

yy

''(x

, y

i

i

i

i

i

i

• 
  1 f x ' (xi , yi )  f y ' (xi , yi )  f (xi , yi ) h2  1
  

22



f

~

~

)  f

2

(x

, y

))h

3

yy

''(x

, y

,

i

i

i

i

~

,

~

x

,

bu yerda

x

y

i

- ikkita (xi,yi) va

i

i

y	))  y			h	 f (x	, y	)  f
		i
i				2	i	i

• 
  ~2
  
19. 
    ' '(xi , yi ) h
    

2

 f

2

(x

, y ) y

 f (x

, y

i

i

i

i

i

 f

~

~

) 2 f

~

~

) 

xx

' ' (x

, y

xy

' ' (x

, y

i

i

i

i

  (x

, y

 hf (x

, y

))

y

i 1

i

i 1

i

i

(xi , yi ) 

) h 

6. 
   (xi , yi ) 
   

(67)

nuqtalarni

tutashtiruvchi kesma boʻylab yotuvchi kenglik nuqtalarining koordinata-lari.

66. 
    va (67) tengliklarni ixchamroq holda yozib, ikki oʻzgaruvchili funksiyalar argumentlarini tashlab yuborib, agar ular xi, yi larda teng boʻlsa, quyidagilarga kelamiz:
    

y

(i )

(x

)  y

 f h 

1

f

' f

' f

i 1

i

2

x

y

y

 y

 f  h 

1

f

' f

' f  h

i 1

2

i

2

x

y

h		2	
 	i		 h

3

1. 
   y (i ) ' ' ' (xi
   

6. 
   

,

• 
  i h)  h3
  

,
(68)

(69)

bu yerda quyidagi belgilash qabul qilingan:





1

f

~

~

)  2 f

~

~

)  f  f

~

~

) 

i

xx

' '(x

, y

xy

' ' (x

, y

yy

' ' (x

, y

2

i

i

i

i

i

i

f

2


.

(70)

68. 
    va (69) ifodalarni oʻzaro taqqoslab, ularda h boʻyicha nolinchi, birinchi va ikkinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdorlar bir xil va shuning uchun ularni (59) ifodaga qoʻyganimizda ular oʻzaro qis-qarib ketadi. Demak, Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi quyidagi-ga teng:
    

i^(^21^) 	1	y ^(^i ^) '' ' (xi i  h)  h^3	i  h^3 ,	(71)
	6

27

shunga koʻra bu h ga nisbatan uchinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdor. Bunda (71) munosabatning oʻng tarafidagi ikkinchi had (-ih³) ning moduli yuqoridan M7ˑh³ miqdor bilan baholanadi, bu yerda
(70) ga koʻra M7 ning qiymati quyidagicha:
M7 = (M4+2 M5 M1+ M6(M1)²)/2

Birinchi handing moduli esa xuddi hu tartibli M6h³ cheksiz kichik mi-qdor bilan yuqoridan baholash imkonini beradi, ammo bunda oʻzgarmas MS. Bu oʻzgarmasni topish uchun (64) tenglikning oʻng tarafini differensi-allash lozim va (60) munosabatdan foydalanib, y⁽ⁱ⁾ yechimning uchinchi hosilasini hamda uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini differensial tenglamaning oʻng tarafi orqali quyidagicha ifodalash zarur:

y

i 

'''(x)



f

''(x, y

(i)

(x))

 f

''(x, y

(i)

(x)) f (x, y

(i)

(x)) 

xx

xy

 f

(x))

''(x, y

(i)

(x))

 f

''(x, y

(i)

(x)) f (x, y

(i)

f (x, y

(i)

(x)) 

xy

yy

 f

(x)) f

'(x, y

(i)

(x)) 

f

'(x, y

(i)

(x)) f (x, y

(i)

'(x, y

(i)

(x))

,

(72)

x

y

y

bu yerdan MS oʻzgarmasning qolgan M1, M2, M3, M4, M5, M6 oʻzgarmaslar orqali ifodasi kelib chiqadi.

Shunday qilib, M = M8 + M7 konstantali (58) baholash oʻrnatildi.