Citations reads

1. Boshlangʻich tushunchalar

Fan va texnikaning koʻplab masalalari oddiy differensial tenglamalar-ni yechishga olib kelinadi.

Oddiy differensial tenglama deb erkli oʻzgaruvchi (argument), izla-nayotgan funksiya va uning bir qator hosilalarini oʻz ichiga olgan tenglamaga aytiladi. Oddiy differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:
F(x, y, y, y, …, y⁽ⁿ⁾) = 0,
bu yerda x – erkli oʻzgaruvchi; y⁽ⁱ⁾ – izlanayotgan funksiyaning i-tartibli

hosilasi, y⁽ⁱ⁾ =

d	(i )		y
dx		i

; n – tenglamaning tartibi.

n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta c1, c2, .., cn oʻzgarmaslarni oʻz ichiga oladi, yaʼni uning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi:

25. 
    = (x, c1, c2, .., cn).
    

Oddiy differensial tenglamaning yagona yechimini topish uchun n ta qoʻshimcha shartlar kiritish lozim boʻladi.

Agar bu qoʻshimcha shartlr bitta nuqtada berilsa, u holda bunday ma-sala Koshi masalasi deb ataladi. Koshi masalasining qoʻshimcha shartlari

boshlangʻich shartlar deb ataladi.

Agar qoʻshimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa, yaʼni erkli oʻzgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda bunday masala che-garaviy masala deb ataladi. Bunday masalaning qoʻshimcha shartlari che-garaviy shartlar deb ataladi.

Xususan, n = 1 boʻlganda gap faqat Koshi masalasi haqida ketadi.

Koshi masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:

1)	y = x^3y^2 , y(1) = 2;
2)	y = y + xy^3 , y(1) = 1 , y(1) = 0.

Chegaraviy masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:

1)	y + 2y – xy , y(0) = 1 , y(1) = 0;
2)	y = x + xy – y , y(1) = 0 , y(1) = 0 , y(3) = 2 .

Bunday masalalarni analitik usullar bilan faqatgina maxsus turdagi tenglamalar uchungina yechish mumkin. Qolgan hollarda biror sonli usulga murojaat qilishga toʻgʻri keladi. Quyida ana shunday bir qadamli sonli usullar bilan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni yechishni qarab chiqamiz.

5

2. Masalaning qoʻyilishi


Koshi masalasi. Ushbu

birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning

boshlangʻich shart bilan [x0, xn] kesmadagi yechimini toping. Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar

8. 
   = (xn – x0)/n
   

qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [x0, xn] kesmadagi

xi = x0 + ih,				i=0, 1, .., n
nuqtalardan foydalaniladi.
Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish:
	xi	x0	x1		…		xn
	yi	y0	y1		…		yn

yaʼni y(x) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izla-nadi.

Berilgan tenglamani [xi, xi+1] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:

Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli inte-gallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi. Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz.

3. Eylerning oshkor usuli

Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning univer-sial usuli tavsiflangan:

y(x) = f(x,y(x)), x0  x  x0 + L,	(1)
y(x0) =  .	(2)

bu yerda L > 0, L – integrallash kesmasining uzunligi.

Bu tenglamaning yechimi deb shunday y(x) funksiya tushuniladiki, u berilgan [x0, x0+L] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalar-da (1) tenglamani qanoatlantiradi va x = x0 nuqtada qoʻshimcha (bosh-langʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin.

6
Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun f(x,y) funksiya [x0 , x0+ L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (x*, y*) nuqtasida aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm).

1-rasm.
2-rasm

N natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [x0 , x0 + L]
ni

h = L/N

(3)

uzunlikli N ta boʻlakka


xi = x0 + ih, i = 0, 1, …, N (4) nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm).

Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [x0, x0+L] kesmadagi toʻr, xi nuqtalar-ning oʻzlarini esa toʻrning tugunlari deb ataymiz.

Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3) umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [xi, xi+1] kesmaning uzunligi boʻlib, u toʻrning qadami deb ataladi (3-rasm). N ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami nolga intiladi:

N  da h  0,

(5)

bundan esa toʻr zichlashub boraveradi.

3-rasm.

Bizning maqsadimiz, izlanayotgan y(x) yechimning bu toʻr tugun-laridagi y(xi) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning xi nuqtasida y(xi) hosilaning yozilgan ushbu

	y(xi) = f(xi, y(xi))				(6)
ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish:
	y(xi  h)  y(xi )		y(xi1 )  y(xi )	.	(7)
	h
			h

Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha.
7

Faraz qilaylik, i – toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi boʻlsin:

y(x	i1	)  y(x )	 y(x ) 
		i
		h	i	i

Bu yerdan y(xi) hosilani quyidagicha

y(x ) 	y(x	i1	)  y(x )	
			i
i			h		i

.

ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni hosil qilamiz:

y(x	i1	)  y(x )	
		i
		h

f
(xi ,

y(x	))	i
i

.
(8)

Bu tenglikni izlanayotgan ikkita y(xi) va y(xi+1) miqdorlar qanoatlanti-radi.
Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha

1. 
   = 0, 1, …, N–1
   

lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama N ta tenglamalar sistemasini tashkil qiladi (bu yerda i = N uchun (8) tenglamani yozib boʻlmaydi, chunki bu tugunda xi+1 nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi).

Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan i xatolik hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib barcha y(xi) miqdorlarni i = 1, 2, …, N lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina y(x0) maʼlum. Ammo h qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi.

Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum y(xi) miqdorni yi deb bel-gilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:

y	i1	 y	i
		h



6. 
   (xi , yi )
   

• 
  i = 0, 1, …, N-1.
  

(9)

Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning

yechimini ham oʻzgartiradi.
Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu
y0 = 	(10)

tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum yi miqdorlarni topishning skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

Ushbu


y0, y1, …, yN

ketma-ketlik skalyar tenglamalar sistemasi (9) dan topilgan nomaʼlum yi miqdorlarning qiymatlari boʻlib, ular toʻr yechimlar deb ataladi, bu ketma-

8

ketlikning umumiy hadi yi esa toʻr yechimning xi tugundagi qiymati deyiladi.

Dastlabki x0 tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni

y0 =  = y(x0),
toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu
yi  y(xi), i = 1, 2, …, N
taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi.
1-lemma. (9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Isbot. (9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
yi1  yi  h f (xi , yi ) , i = 0, 1, …, N–1.	(11)

Berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11) tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy yi lar uchun aniqlangan, shuning uchun bu tenglik oldingi xi tugundagi toʻr yechimdan foydalaib xi+1 tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra x0 tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11) dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum y1, y2, …, yN larni biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin.

1-izoh. Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu									(11)
y0 =  ,	y	i1	 y	i	i	i	)	, i = 0, 1, …, N–1.
					 h f (x	, y

algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707-1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga Eylerning oshkor usuli deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9) tenglamaning yi+1 ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11) oshkor formula oldingi xi tugundagi yi toʻr yechimdan foydalanib xi+1 tugundagi yi+1 toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi.

Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz qiliamiz, yaʼni berilgan [x0 , x0 + L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy ichki (x*, y*) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi, boshqacha qilib aytganda, (x0 , x0 + L) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy x* va ixtiyoriy haqiqiy y* uchun ushbu

y(x*) = y* , y(x) = f(x, y(x))

Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida x, y oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha f funksiyaning uzluksizligini faraz qilish yetarli.

9
2-izoh. Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi izlanayotgan y yechimning [xi, xi+1] intervaldagi grafigini xuddi shu differ-ensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi.

Agar y yechimning xi tugundagi y(xi) yechimi aniq boʻlganda edi, u holda bunday boʻlak sifatida y yechimga xi nuqtada oʻtkazilgan urinma boʻlagini olish mumkin (4-rasm).

4-rasm. 5-rasm

Ammo biz y(xi) miqdor oʻrniga uning yi taqribiy qiymatini bilamiz, shuning uchun izlanayotgan y yechimning grafigiga (xi, y(xi)) nuqtadan boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial tenglama y⁽ⁱ⁾ - yordamchi yechimi grafigining (xi, yi) nuqtasidan oʻtuvchi urinma (5-rasm).

Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan hisoblangan yi+1 miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik.

Aslida esa, faraz qilaylik, x – aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasi-ning absissasi, ỹ(x) – shu nuqtaning ordinatasi, i – bu urinmaning x oʻq bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin (5-rasm). U holda

ỹ(x) = (tgi)(x– xi) + yi , (13) bu tenglama burchak koeffitsiyenti k = tgi va (xi, yi) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi.

Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq y⁽ⁱ⁾ funksiyaning grafigiga x = xi nuqtada urinadi. Hosilaning geometrik talqinidan foydalanib, quyidagini yoza olamiz:

tgi = (y^(^i^))(xi),	(14)
bu yerda y^(^i^) – quyidagi Koshi masalasining yechimi:
(y^(^i^))(x) = f(x, y^(^i^)(x)),	(15)
y^(^i^)(xi) = yi .	(16)
10

(14) uchun esa quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:
tgi = f(xi, y⁽ⁱ⁾(xi)) = f(xi, yi).
Shularga koʻra (13) urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:


ỹ(x) = f(xi, yi)(x–xi) + yi . (17) Bu urinmaning xi+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini topish uchun (17) tenglamada x = xi+1 deb olish lozim. Bu oʻrniga qoʻyish natijasida quyidagi
miqdorga ega boʻlamiz:


ỹ(xi+1) = f(xi, yi)(xi+1–xi) + yi .
Bu miqdor (11) formula orqali


xi+1–xi = h
munosabatdan foydalanib topilgan yi+1 miqdorga teng.


1-xulosa. xi+1 tugundagi toʻr yechimni topish uchun tekislikning (xi , yi) nuqtasi orqali Koshining yordamchi masalasi (15)-(16) ning y⁽ⁱ⁾ yechimi grafigiga urinma oʻtkazish lozim va yi+1 toʻr yechim sifatida bu urinmaning ordinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini olish mumkin.


3-izoh. Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni x0 tugun nuqtada beril-gan y0 toʻr yechim boʻyicha x1 tugun nuqtadagi y1 toʻr yechim izlanadi, aslida urinma izlanayotgan y yechim grafigiga oʻtkaziladi (6-rasm). Algo-ritmning qolgan barcha qadamlarida urinmalar, aslida, (1) tenglamaning boshqa yechimlariga, yaʼni aynan oʻsha differensial tenglama uchun Koshi yordamchi masalasi (15)-(16) ning yechimiga oʻtkaziladi.


4-izoh. Bu urinmalarni rasmda tasvirlasak, u holda izlanayotgan y yechim grafigiga yaqinlahuvchi siniq chiziqlar hosil boʻladi (6-rasm). Shuning uchun ham Eylerning oshkor usuli Eylerning siniq chiziqli oshkor usuli deb ham ataladi.


5-izoh. Agar (6) tenglikda y(xi) hosilani almashtirish uchun (7) toʻr boʻyicha yaqilashish oʻrniga boshqa ushbu

y(x

 h)  y(x )



y(x )  y(x

i1

)

i

i

i

 h

h

toʻr boʻycha yaqinlashishdan foydalansak, u holda toʻr yechimni izlash-ning avvalgisidan boshqa quyidagi tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz:

25. 
     y
    
    9. 
       i1 
       

h
f
(xi ,

y	i	)

,
i = 1, 2, …, N
(18)

y0 =  . (19)

(9)-(10) va (18)-(19) tenglamalar sistemasi orasidagi muhim farqlarni aniqlash uchun (18) sistemada indeksni bir birlikka siljitib, uni quyidagi ekvivalent shaklga keltiramiz:

11

y	i1	 y	i		f (x		, y		)
						i1		i1
		h

Endi bu sistemani (9) sistema bilan taqqoslaymiz. Koʻrinib turibdiki, nomaʼlum yi+1 (9) tenglamaning faqat chap tarafida chiziqi holda qatnashmoqda, bu esa uni oldingi tugundagi yi toʻr yechim orqali oshkor shaklda ifodalash imkonini beradi.

,

1. 
   = 0, 2, …, N–1
   

6-rasm.

(20)

20. 
    tenglamada esa nomaʼlum yi+1 (9) tenglamada ikki marta qatnashmoqda: chap tarafida chiziqli va oʻnd tarafda f nochiziqli funksiya ostida nochiziqli. Shuning uchun bu tenglamada nomaʼlum yi+1 ni oldingi tugundagi toʻr yechim orqali oshkor shaklda ifodalashning umuman im-koni yoʻq. Buning uchun esa algoritmning har bir qadamida oldingi tugundagi toʻr yechimdan foydalanib nochiziqli skalyar tenglamani no-maʼlum yi+1 ga nisbatan biror usul yordamida yechish lozim boʻladi.
    

Bu uslub (1)-(2) Koshi masalasini taqribiy yechishning ushbu

y0 =  ,	y	i	 y	i1	i	i	)	, i = 1, 2, …, N	(21)
					 h f (x	, y
algoritm shaklida yozilgan Eylerning oshkormas usuli deb ataladi.
Eyler oshkormas usulining geometrik talqinini beraylik.
Faraz qilaylik, yi-1 va yi				– berilgan mos xi-1 va xi tugunlarda Eylerning

oshkormas usuli yordamida topilgan toʻr yechimlar boʻlsin. Berilgan dif-ferensial tenglama yechimining xi ,yi nuqtadan oʻtuvchi grafigini (7-rasm), yaʼni quydagi Koshi masalasi yechimining grafigini qaraylik:

(y⁽ⁱ⁾)(x) = f(x, y⁽ⁱ⁾(x)), y⁽ⁱ⁾(xi) = yi .

Bu yechimning x = xi nuqtasiga oʻtkazilgan urinma (xi, yi) nuqtadan oʻtuvchi va burchak koeffitsiyenti

11. 
    = (y⁽ⁱ⁾)(xi) = f(xi, y⁽ⁱ⁾(xi)) = f(xi, yi).
    

boʻlgan toʻgʻri chiziqdan iborat. (xi-1, yi-1) va (xi, yi) nuqtalarni tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq aynan ana shunday toʻgʻri chiziqdir: bu toʻgʻri chiziq tuzilishiga koʻra (xi, yi) nuqtadan oʻtadi, uning burchak koeffitsiyenti esa 7-rasmdan va

21. 
    formuladan koʻrinib turibdiki, aynan oʻsha miqdorga teng, yaʼni:
    

_{k } ^yi ^{ y}i1 _ ^{( y}i1 ^{ h f (x}i ^{, y}i ^{))  y}i1


h h

7-rasm.

 f (x_i , y_i ) .

12

Bu dalil quyidagi xulosadan iborat i-chi qadamdagi Eyler oshkormas usu-lining geometrik interpretatsiyasini beradi.


2-xulosa. Oldindan hisoblangan yi yechimdan foydalanib yi+1 toʻr yechimni topish uchun quyidagi geometrik shakl yasashlarni bajarish lo-zim:

1. 
   xi tugun orqali ordinata oʻqiga parallel l⁽ⁱ⁾ toʻgʻri chiziq oʻtkazamiz;
   

2. 
   bu toʻgʻri chiziqda berilgan differensial tenglama yechimining grafigiga shu nuqta orqali oʻtuvchi urinma kesmalarining har bir nuqtasidan yoʻnalishlar maydonini hosil qilamiz;
   

3. 
   (xi-1,yi-1) nuqta orqali l toʻgʻri chiziqni shunday oʻtkazamizki, u l⁽ⁱ⁾
   

toʻgʻri chiziqni kesib oʻtsin va bu kesishish nuqtasiga oʻtkazilgan urinma bilan ustma-ust tushsin.

Bu kesishish nuqtasining ordinatasi yi toʻr yechimni beradi, (xi-1,yi-1) nuqta va kesishish nuqtasi orqali oʻtkazilgan l toʻgʻri chiziq esa (1)-(2) Koshi masalasining izlanayotgan yechimi grafigiga [xi-1, xi] kesmada ya-qinlashuvchi siniq chiziqning boʻlagini beradi.

6-izoh. Yuqorida tavsiflangan Eyler usullari nafaqat bitta differensial tengla-ma bilan yozilgan Koshi masalasi uchun, balki n ta xuddi shunday tenglamalar sistemasi bilan yozilgan quyidagi Koshi
masalasi uchun ham oʻrinli: 8-rasm.

(yk)(x) = fk(x, y1(x), y2(x), …, yn(x)) , x0  x  x0 + L, k = 1,2, …, n, yk(x0) = k , k = 1,2, …, n .

Bu holda Eylerning oshkor usuli quyidagi munosabatlar bilan beriladi:


y1,0 , y2,0 , …, yn,0 - berilganlar,
yk,i+1 = yk,i +hfk(xi, y1,i, y2,i, …, yn,i), k = 1,2, …, n, i = 0,1, …, N–1,
Eylerning oshkormas usuli esa quyidagi munosabatlar bilan beriladi:


y1,0 , y2,0 , …, yn,0 - berilganlar,
yk,i = yk,i-1 +hfk(xi, y1,i, y2,i, …, yn,i), k = 1,2, …, n, i = 1,2, …, N,

bu yerda yk,i – nomaʼlum yk funksiyaning xi tugundagi toʻr boʻyicha yaqin-lashuvchi miqdori.

Bu formulalarni qaytadan yozib oʻtirmaslik ham mumkin edi. Buning uchun (12) va (21) formulalarda asosiy belgilashlarni vektor shaklida yozish yetarli boʻlardi.

1-misol. Quyidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan Koshi masalasi uchun Eylerning oshkor va oshkormas hisob for-mulalarini yozing:

13
y1(x) = y1²(x) + y2²(x) ,

y2(x) = y1(x)  y2(x) , 0  x  1,


y1(0) = y2(0) = 1.
Yechish. Eyler oshkor usulining hisob formulalari quyidagicha:

y1,0 = y2,0 = 1.
y1,i+1 = y1,i + h((y1,i)^2 + (y2,i)^2) ,	i = 0, 1, …, N–1,	(22)
y2,i+1 = y2,i + h(y1,i  y2,i) ,	i = 0, 1, …, N–1 .	(23)

Bu hisob formulalari boʻyicha bajarilgan hisoblashlarda i boʻyicha sikl bajariladi: xi tugundagi y1,i va y2,i toʻr yechimlar topilgandan keyin i ning qiymatida (22) va (23) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi xi+1 tugund-agi y1,i+1 va y2,i+1 toʻr yechimlar topiladi.

Eyler oshkormas usulining hisob formulalari quyidagicha:

y1,0 = y2,0 = 1.
y1,i = y1,i-1 + h((y1,i)^2 + (y2,i)^2) ,	i = 1, 2, …, N,	(24)
y2,i = y2,i-1 + h(y1,i  y2,i) ,	i = 1, 2, …, N .	(25)
Bu hisob formulalari boʻyicha	ham bajarilgan	hisoblashlarda i

boʻyicha sikl bajariladi: xi-1 tugundagi y1,i-1 va y2,i-1 toʻr yechimlar topil-gandan keyin i ning qiymatida (24) va (25) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi xi tugundagi y1,i va y2,i toʻr yechimlarga nisbatan ikkita skalyar tenglamalar sistemasi yechiladi va ulardan shu yechimlar topiladi.

7-izoh. Bu bajarilgan mashq asosida shu narsa ayonki, Eyler oshkor-mas usulining har bir qadami Eyler oshkor usulining qadamiga nisbatan kattaroq hajmdagi hisoblashlarni talab qiladi, shuning uchun oshkormas holda oshkor formulalarga nisbatan skalyar tenglamalar sistemasini yechishning murakkab prosedurasini qoʻllash talab qilinadi, bu esa oʻz navbatida maʼlum bir qiyinchiliklarni tugʻdiradi. Ammo bunday tezkor xulosaga kelish yaramaydi. Gap shundaki, Koshi masalasining talab qilin-gan aniqlikdagi taqribiy yechimini topishning hisoblash ishlari umumiy hajmi nafaqat algoritm qadamlarining qiyinligi, bilan balki ulaning qadam-lari soni bilan ham aniqlanadi. Shunday sistemlar (masalan, «qat’iy» dif-ferensial tenglamalar sistemasi) mavjudki, uning toʻr yechimlarini yetarli aniqlikda topish uchun oshkor usul boʻyicha hisob toʻrining qadamini juda ham kichik qilib olish talab qilinadi, oshkormas usuldan foydalanilganda esa aniq yechimga yanada yaqinroq boʻlgan taqribiy natijani toʻrning kat-taroq qadamlarida ham olish mumkin. Bu holda oshkormas usul hisob qadamlarining soni kamligi sababli umumiy arifmetik amallar soni kam boʻladi.

14