Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Reja: Umumiy tushunchalar

2-Teorema. Faraz qilaylik,

• 
  a₁₁ x  a₁₂ y  a₁₃ z  b₁ , ^ a₂₁ x  a₂₂ y  a₂₃ z  b₂ ^_ a₃₁ x  a₃₂ y  a₃₃ z  b₃ .^,
  

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar

x, y , z

1)  0 bo’lsa, u holda (3) sistema yagona

yechimga ega bo’lib,

х 



х

,

у 

у

,z 



z







bo’ladi;

2. 
    0 bo’lib,  _x  0,  _y  0 bo’lsa, u holda (3) sistema yechimga ega
   

bo’lmaydi;

3. 
    _x  _y  _z  0 bo’lsa, u holda (3) sistema cheksiz ko’p yechimga ega
   

bo’ladi.

◄Bu teoremaning isboti 2–teoremaning isboti kabidir. ► 3-misol. Ushbu

2 x  3 y
^
 x  y 


^_ 2 x  y

• 
  z  5,
  

2 z  7,

 z  1

tenglamalar sistemasi yechilsin.
◄Avvalo sistema koeffitsientlaridan tuzilgan  determinantni hisoblaymiz:
2 3 1

 1 1 2 2121(2)(4)318.

2 1 1

Demak, berilgan sistema yagona yechimga ega. Endi  _х ,  _у , _z determinantlarni hisoblaymiz:

	x				5								3		1																														
					7								12																		567				1								10				218,
					1								1		1
y												2		5		1										14 20 114 4 5  38,
												1		7		2
											2		1		1
z							2							3		5					 242510143 40.
							1 1 7
							2							1		1

Unda

• 
  ^_^х₁₈⁸₉⁴
  

• 
  ^_^у₁₈³⁸¹⁹₉z  ^_^z  ₁₈⁴⁰  ²⁰₉
  

bo’ladi. ►

Yuqorida keltirilgan tenglamalar sistemasining yechimini topish usuli Kramer usuli deyiladi.

Shu usul bilan n ta chiziqli tenglamalardan tuzilgan n ta х₁ , х₂ , х_n noma’lumli tenglamalar sistemasi

 an x1  a12 x2  a1n xn  b1 ,
^	a21 x1  a22 x2  a1n xn  b2 ,
	..............................................

	a x  a x  a x  b ,
	n1 1n 2 2	nn nn

ni ham yechish mumkin.

Chiziqli tenglamalar sistemasining Gauss usuli

Biz endi chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usulda noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish bilan yechim topildi.

Bu usulni ko‘rishdan avval biz kengaytirilgan matritsa usulini ko‘rib chiqamiz.

Bizga n o‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi:

Biz hozir berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasi qanday qurilishini ko‘rsatamiz. Quyidagi sistema berilgan bo‘lsin:

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Kengaytirilgan matritsani qurish uchun noma’lumlar koeffitsientlaridan tuzilgan matritsaning o‘ng tomoniga ozod hadlardan tuzilgan yangi ustun qo‘shiladi. Usulning asosiy goyasi berilgan sistemani unga teng kuchli bo‘lgan, lekin yechish oson bo‘lgan sistema bilan almashtirib, keyin hosil bo‘lgan sistemani yechishdan iborat. Yangi sistema odatda quyidagi amallarni bajarish natijasida bo‘ladigan bir nechta qadamlardan keyin hosil bo‘ladi:

1. 
   Tenglamani 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytirish.
   
2. 
   Ikkita tenglamaning o‘rnini almashtirish.
   
3. 
   Bir tenglamaga karrali tenglamani ikkinchisiga qo‘shish.
   

Kengaytirilgan matritsaning satrlari sistemadagi tenglamalarga mos kelgani uchun yuqoridagi uchta amal kengaytirilgan maritsa uchun quyidagicha bo‘ladi:

1. 
   Satrni 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytirish.
   

2. 
   Ikkita satrning o‘rnini almashtirish.
   
3. 
   Bir satrga karrali satrni ikkichisiga qo‘shish.
   

Bu amallar satrlar ustidaga elementar almashtirishlar deyiladi. Quyidagi misolni Yechish orqali bu amallarni qanday qo‘llanilishini ko‘rsatamiz.

4-Misol. Quyidagi tenglama berilgan:

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

1 – satr elementlarini -2 ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga qo‘shsak:

hosil bo‘ladi.

1 – satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shsak:

bo‘ladi.
2- satr elementlarini ga ko‘paytiramiz:

1- satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shamiz:

2- satr elementlarini -2 ga ko‘paytiramiz:

1- satr elementlarini -1 ga ko‘paytirib 1- satr mos elementlariga qo‘shamiz:

3- satr elementlarini ga ko‘paytirib 1-satr mos elementlariga qo‘shamiz va ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga qo‘shamiz:

Demak, sistemaning yechimi x=1, y=2, z=3.

Yechimning kengaytirilgan matritsasidan x=1, y=2, z=3 ekanligi ko‘rinib turadi.
Matritsani bu shaklga keltirish uchun u quyidagi shartlarni bajarishi kerak:

1. 
   Agar 1- satr faqat 0 elementlardan tashkil topmagan bo‘lsa uning 1-elementini 1 ga tenglab olamiz. Buning uchun uning elementlarini a₁₁ ga bo‘lib chiqamiz.
   

2. 
   Agar qandaydir satrlar faqat 0 lardan iborat bo‘lsa bu satrlar matritsaning pastki qismiga joylashtiriladi.
   

3. 
   Elementlari 0 lardan iborat bo‘lmagan ketma-ket kelgan ikkita satrdan quyidagisining 1 ga teng elmenti yuqorisidagining 1 ga teng elementidan 1- ustun chapda joylashgan bo‘ladi.
   

4. 
   1-elementi mavjud ixtiyoriy ustunning boshqa elementlari 0 ga teng
   

bo‘ladi.
Endi kengaytirilgan matritsa ko‘rinishidagi quyidagi sistemalarni quraylik.


5-Misol.

O‘z-o‘zidan ko‘rinib turibdiki bu sistemaning yechimi x =5, y = -2, z =4 bo‘ladi.

6-Misol.

Kengaytirilgan matritsani quyidagi tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozamiz:

Kengaytirilgan matritsaning 1 elementiga x₁, x₂, x ₃ mos kelgani uchun ularni bazis elementlar deb ataymiz. x₄ esa erkli noma’lum deb ataladi.

U holda sistemaning yechimi erkli o‘zgaruvchiga nisbatan quyidagicha topiladi:

Bundan ko‘rinib turibdiki erkli o‘zgaruvchi x₄ ning o‘rniga ixtiyoriy qo‘ysak bo‘ladi. U holda sistema quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Demak sistema cheksiz ko‘p yechimga ega.

7-Misol.
Tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching:
 3x  y  2z  9
^ x  4 y  z  4
 .
^_2x  3y  3z  11


Yechish. Gauss usuli berilgan tenglamalar sistemadagi noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotishdan iboratdir. Bu usulni qo‘llash oson bo‘lishi uchun 1-chi va 2-chi tenglamalarning o‘rnini almashtiramiz.

	x  4 y  z  4
	3x  y  2z  9 .


^_2x  3y  3z  11

Endi 2-chi va 3-chi tenglamalardan x ni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamani 3 ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan, 2 ga ko‘paytirib, 3-chi tenglamadan ayiramiz va quyidagiga ega bo‘lamiz:

 x  4 y  z  4
^
13y  z 3 .
2-chi tenglamaga 3-chi tenglamani qo‘shib, 3-chi tenglamadan z ni yo‘qotamiz:

 x  4 y  z  4

13y  z 3 .
	 24 y  0


Oxirgi tenglamadan у  0 ekanligi kelib chiqadi. Bu qiymatni 2-chi tenglamaga

qo‘yib z ni aniqlaymiz. Topilgan y va z ni 1-chi tenglamaga qo‘yib topamiz. z=3, x= 1.

Shunday qilib, x = 1, y = 0, z = 3.


Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish

Chiziqli tenglamalar sistemasinini qaraylik

(4)

va quyidagicha belgilashlar kiritaylik:

 a

a...

a





11

12

1n 

a21

^a22

...

^a2n



- sistemaning matritsasi,

A  

... ... ... ...









^an 2

...



^an1

^ann 

 x



 b1



 1







 x2



- noma’lumlar ustuni, B 

b2



- ozod hadlar ustuni. U holda (4) sistemani

X  







 ...



 ...











 ^xn



^bn



matritsaviy tenglama ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:

 a1

 x1

 a11 x1  a12 x2  a1n xn



^ a

x

^ a x  a x  a x



(5)

A. x  ^ ^2



^2



^211

22 2

2n n 

























 ^am  ^xn

^am1^x1

^ ^am 2 ^x2 ^^amn^xn

AX=B.

Faraz qilaylik А - xosmas matritsa

bo‘lsin,

u holda

unga

teskari

A^^1 matritsa

mavjud bo‘ladi. (5) tenglamaning har ikki tomonini A^1 ga chapdan ko‘paytiraylik.
A^1 AX  A^1B.

Ma’lumki A^1 A  E, u holda EX  A^1 B , EX  X ekanligidan X  A^1B. Shunday qilib, (5) – matritsaviy tenglamaning yechimi, А matritsaga teskari matritsaning (4) sistemaning ozod hadlaridan iborat ustun matritsaga ko‘paytmasiga teng ekan.

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish.
Kroneker- Kapelli teoremasi.

Bizga n o‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

(6)
Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi:

(7)
Yuqorida qaralgan noma’lumlari soni n ta, tenglamalari soni m ta bo‘lgan (6) sistemani qaraylik. Uning koeffitsentlaridan tuzilgan (7) matritsa va ozod hadlar qo‘shilishidan hosil bo‘lgan kengaytirilgan matritsani qaraylik

, Ravshanki rangA ≤ rangB.


3-Teorema. (Kroneker-Kapelli). Yuqoridagi (6) chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun bu sistema matritsasi va kengaytirilgan matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va etarli.


Isbot. Zarurligi. (6) sistema birgalikda va x₁=k₁, x₂₌k₂,..., x_n=k_n va yechimga ega bo‘lsin, uholda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi.

2. 
   matritsaning 1- ustunini k₁ ga, 2- ustunini k₂ ga va hokazo n ustunini k_n ga ko‘paytirib oxirgi ustunidan ayiramiz va B ga ekvivalent matritsa hosil qilamiz
   

Bu matritsaning oxirgi ustunini o‘chirish bilan A matritsaga kelamiz. Buning elementar almashtirishligini e’tiborga olsak: rangA=rangB.

Yetarliligi. rangA=rangB bo‘lsin. U holda A matritsadagi chiziqli bog‘liq bo‘lmagan maksimal sondagi ustunlar B matritsada ham chiziqli bog‘liq bo‘lmaydi. Demak shunday k₁, k₂,..., k_n koeffitsentlar topiladiki, B matritsaning oxirgi ustuni bu koeffitsentlarning A matritsa ustunlari

bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. B matritsaning oxirgi ustuni (6)

sistemaning oxirgi ustuni ekanligini hisobga olsak, Bu koeffitsentlar (6)
sistemaning yechimi bo‘ladi. Demak A va B matritsalar rangining tengligi bu
sistemaning birgalikda ekanligini keltirib chiqaradi. Teorema isbot
bo‘ldi.

Agar rangA=rangB=n bo‘lsa tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng

bo‘lib sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.
rangA=rangB=kbo‘lib k1, k2,..., kk noma’lumlar erkli o‘zgaruvchi kk+1, kk+2,..., kn lar orqali

ifodalanadi va sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Agar A va kengaytirilgan B matritsalar ranglari teng bo‘lmasa, sistema yechimga ega bo‘lmaydi.

Agar (6) sistemada b₁ =b₂=... =b_n=0 bo‘lsa sistema bir jinsli deb ataladi.

Bu systema doimo birgalikda, chunki kengaytirilgan B matritsa A matritsadan elementlari noldan iborat oxirgi ustun bilan farq qiladi va rangA=rangB. Agar rangA=n bo‘lsa sistema yagona x₁ =0, x₂ =0,..., x_n=0 yechimga ega. rangA bo‘lgan holda (9) sistema noldan farqli yechimga ham ega bo‘ladi. Yuqoridagi sistema nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning asosiy determinanti nolga teng bo‘lishi kerak, bu tasdiq rangA ga teng kuchli bo‘ladi.

A D A B I YO T L A R

1. 
   A.S. Piskunov. Differensial va integral hisob. T. «Uqituvchi»,1974 y ,31 – 49 betlar.
   
2. 
   L.E.Elsgolts. Differensialnie uravneniya i variatsionnoe ischislenie . M. ,»Nauka» , 1969 g. ,s .32–38, 68–82.
   
3. 
   L.S.Pontryagin. Differensialnie uravneniya i ix prilojeniya. M., Nauka , 1965 g., s.13–25 .
   
4. 
   M.S. Salohitdinov, O’.N. Nasritdinov. Oddiy differensial tenglamalar. T. «Uzbekiston» , 1994 y.,32 - 42 betlar.
   
5. 
   V.P. Minorskiy. Oliy matematikadan masalalar to’plami. T.
   

«O’qituvchi», 1977, 230-234 betlar.