1. chiziqsiz ikki noma’lumli tenglamalardan tuzilgan

4.1. CHiziqsiz tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli

1.CHiziqsiz ikki noma’lumli tenglamalardan tuzilgan

(4.1)
sistema berilgan bo‘lsin.
Bu sistemaning yechimlari yotgan oraliqlarni aniqlashda grafik usuldan foydalanamiz.
F(x,y)=0 va G(x.y)=0 funktsiyalar grafiklari kesishgan nuqtani o‘z ichiga oluvchi kesmani taqriban aniqlaymiz:
D={a x b, c  x d}
Bu kesmada yechimga mos keluvchi nuqtaga iloji boricha yaqin bo‘lgan (x₀, y₀) nuqtani tanlaymiz. Bu x=x₀, y=y₀ qiymatlardan foydalanib =0.001 aniqlikda hisoblash algoritmini tuzamiz.
n=1,2,3,... lar uchun berilgan sistemadagi funktsiya va ularning xususiy xosilalarini hisoblab sistema yechimini topamiz:
1) F=F(x_n-1, y_n-1), F_x =F_x(x_n-1, y_n-1), F_y =F_y(x_n-1, y_n-1)
G =G(x_n-1.y_n-1), G_x =G_x(x_n-1.y_n-1), G_y =G_y(x_n-1.y_n-1)
2) J= F_x G_y – G_x F_y
₁= F G_y – G F_y
₂= F_x G – G_x F
3) x_n = x_n-1 + ₁/J , y_n = y_n-1 + ₂/J ,
4)  x_n – x_n=1< ,  y_n – y_n-1<,
bo‘lsa, taqribiy yechimni:  x_n ,  y_n deb olamiz.


4.1-masala. Ushbu

chiziqsiz tenglamalar sistemasining yechimini Nyuton usuli bilan 0.1 aniqlikda toping.
Yechish. Yechim yotgan Kesmani
D={0.4< x <0.5, -0.76< y < -0.73}
deb olsa bo‘ladi (bunga ishonch hosil qilishni o‘quvchining o‘ziga havola qilamiz). U holda, boshlang‘ich yaqinlashishni: x₀=0.4, y₀=-0.75 deb olsak bo‘ladi.
F_x=2Cos(2x-y)-1.2 , Gx=1.6x
F_y= -Cos(2x-y) , Gy= 3y
F=F(0.4,-0.75)=0.1198 ,
F_x =F_x(0.4, -0.75)=-1.1584,
F_y =F_y(0.4, -0.75) = -0.0208
G=G(0.4,-0.75)=-0.0282,
G_x =G_x(0.4,-0.75) =0.64 ,
G_y =G_y(0.4, -0.75)=-2.25
J==2.6197
₁=0.2701 , ₂=0.044
x₁=x₀+₁/ =0.5 , y₁=y₀+₂/=-0.733
x₁-x₀=0.1=0.1, y₁-y₀=0.02<0.1
Birinchi yaqinlashish: x₁=0.5, y₁=-0.733 bo‘lganda
F= -0.0131 , Fx=0.8 , Fy=-1.4502
G=0.059, Gx= -2.191, Gy=0.1251
=3.2199
₁=-0.0293 , ₂=0.0749
x₂=x₁+₁/ =0.491, y₂=y₁+₂/=-0.710
x₂-x₁=0.009<0.1, y₂-y₁=0.023<0.1
bo‘lganidan x  0.5, y  -0.71

Endi Nyuton usulini n ta noma’lumli n ta chiziqsiz tenglamalar sistemasini yechish uchun qo‘llaymiz.

Buning uchun quyidagi chiziqsiz tenglamalar sistemasini olamiz.
(4.2)
Bu sistemasini yechimini topish uchun ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usulidan foydalanamiz. Bu ketma-ketlikni yechimga r- yaqinlashishini quyidagicha yozamiz:
x^(p+1)= x^(p)_- W^-1(x^(p))f(x^(p)) (4.3)
bu formulada:
- x^(p)=( x₁^(p), x₂^(p),…, x_n^(p))-boshlang‘ich yoki r- yaqinlashishini bildiradi.
-W^-1(x^(p)) (4.2) sistemaning chap tamonidagi funktsiyalarning har bir argumenti bo‘yicha olingan 1-tartibli xususiy hosilalarning x^(p) r-yaqinlashish qiymati bo‘yicha topilgan sonlardan tuzilgan quyidagi Yakobi W
(4.4)
matritsaga teskari matritsa
- f(x^(p)) (3.2) sistemaning chap tamonidagi funktsiyalarning x^(p) dagi qiymatilaridan tuzilgan matritsa
(4.3) ketma-ketlikni yechimga yaqinlashishining asosiy sharti: