Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari

6-misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
^x3 ⁼¹ _va

Shunday

2 x₁ − x₂ − 4 x₃ = −1, 3 x − 2 x + x = −9,

Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotib yechimni topamiz:

	2 x1 − x2 − 4 x3 = −1,					x1 + 4 x2 − 2 x3 = 4,					x1 + 4 x2 − 2 x3 = 4,
					+ x3 = −9,			− x2 − 4 x3 = −1,				9 x2 = 9,
	^3^x1 − ^2 ^x2					^2^x1
			x + 4 x		− 2 x = 4		3 x − 2 x		+ x = −9			14 x	− 7 x = 21.
			1	2	3		1	2	3			2	3
						x1 + 4 x2 − 2 x3 = 4,
								x3 − 2 x2 = −3,
									x2 =1.
x2 =1		qiymatni ikkinchi tenglamaga qо’yib,								^x3 ^=^−^1qiymatni hosil					qilamiz.
^x2 ^=^1 va		^x3 ^=^−^1qiymatlarni birinchi tenglamaga								qо’yib ^x1 ^=^−^2 qiymatni					olamiz.
Shunday qilib, sistema yagona ^(^−^2;1;^−^1^) yechimga ega.

WWW.OPENSCIENCE.UZ 318

"SCIENCE AND EDUCATION" SCIENTIFIC JOURNAL AUGUST 2021 / VOLUME 2 ISSUE 8

Tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni tenlamalar sonidan ko’p bo’lsa ham, ya’ni sistema birgalikda bo’lib aniq bo’lmasa ham uning yechimini Gauss usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.

7-misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:


x₁ − x₂ + 2x₃ − x₄ = 4, x₁ + x₂ + x₃ + x₄ =10,

7x₁ + 2x₂ + 8x₃ − 6x₄ = 44, 5x₁ + 2x₂ + 5x₃ − 6x₄ = 30.

Yechish. Birinchi qadamda sistemadagi birinchi tenglamani oʻzgarishsiz

qoldirib, qolganlaridan ketma-ket ^x1 noma’lumni yoʻqotamiz, ikkinchi qadamda ikkinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan ^x2 noma’lumni yoʻqotamiz, uchinchi

qadamda uchinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan ^x3 noma’lumni yoʻqotamiz. Soddalik uchun tenglamalar sistemasi oʻrniga kengaytirilgan matritsa ustida ish olib boramiz:

1		−1 2		−1		4		1		−12−1				4		1		−1 2		−1		4
	1	1	1	1		10			0	2	−1 2			6			0	2	−1 2			6
	7	2	8	−6		44			0	9	−6	1		16			0	0	3	16		22
	5	2	5	−6		30			0	7	−5	1		10			0	0	3	16		22

Hosil boʻlgan sistemada ikkita bir hil tenglamadan bittasini qoldirib, ikkinchisini tashlab yuboramiz. Shu yerda chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning chapdan

oʻngga qarab bosqichi tugadi. Tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kichik. Endi ^x4 erkli oʻzgaruvchini oʻng tomonga oʻtkazamiz. Soʻngra oʻngdan chapga qarab harakat yordamida sistemaning barcha yechimlari topiladi.

x1 − x2 + 2 x3 − x4 = 4,
	2 x2 − x3 + 2 x4 = 6,
	3 x3 + 16 x4 = 22

x₁ = 8x₄ − 34 / 3


x₂ = − (11x₄ + 2) / 3


x₃ = − (16x₄ − 22) / 3

_{8 x4 −} ³⁴ _{; −} ^11x4 ^{+ 2} _{; −} ^{16 x}4 ^{− 22} <sub>; x4 , x4 R.


Javob:</sub> 3 3 3 Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss - Jordan usuli

Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss - Jordan usulining (Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi) mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal

koʻrinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan ^(	A		B	^)matritsasi quriladi. Yuqorida

keltirilgan sistemaning teng kuchliligini saqlovchi elementar almashtirishlar yordamida, kengaytirilgan matritsaning chap qismida birlik matritsa hosil qilinadi.

WWW.OPENSCIENCE.UZ 319

"SCIENCE AND EDUCATION" SCIENTIFIC JOURNAL AUGUST 2021 / VOLUME 2 ISSUE 8

Bunda birlik matritsadan oʻngda yechimlar ustuni hosil boʻladi. Gauss - Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin:

(AB)~(E X )_.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss-Jordan usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotishning Gauss strategiyasi va teskari matritsa qurishning Jordan taktikasiga asoslanadi. Teskari matritsa oshkor shaklda qurilmaydi, balki oʻng ustunda bir yoʻla teskari matritsaning ozod hadlar ustuniga koʻpaytmasi-yechimlar ustuni quriladi.

8-misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching:


x₁ + x₂ + 2x₃ + 3x₄ =1, 3x₁ − x₂ − x₃ − 2x₄ = −4, 2x₁ + 3x₂ − x₃ − x₄ = −6, x₁ + 2x₂ + 3x₃ − x₄ = −4.


Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasi koeffitsiyentlaridan kengaytirilgan matritsa tuzamiz. Tenglamalar ustida bajariladigan almashtirishlar yordamida asosiy matritsani quyidagicha birlik matritsaga keltirib javobni topamiz:

1123				1				1 12						3				1			1123								1
	3−1−1−2			−4					0−4−7					−11				−7				011−4							−5
	23−1−1			−6					01−5−7									−8				0−157							8
	123−1			−4					0 11					−4				−5				04711							7
	1017					6			1017							6				100−2							−3
		011−4				−5				0 1 1			−4			^−^5					0 1 0				−13		−14
		0063				3				0019						9					0019						9
		00327				27				0021						1					0 0 0				−17		−17
				100−2								−31000												−1
					010−13							−14
																	0100							−1
					0019							9					0010							0
					0001							1					0001							1