Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari

Mashqni bajaring. Quyidagi tenglamalarni yeching:
		0 1	1340													0 1									2 3						=					4 0
		^X	3 2			^=																^X			3 2
1)		3 1				^2 8								, 2)		^5 1																				2 5	,
						211340
											^X					^=								^.
			3)			^312521
																					r (A ) = r (A									B)
Agar sistemada ^m n va ^r ^( ^A^) ^m boʻlib,																																				boʻlgan holda ham

teskari matritsa usulidan foydalanib uning yechimini topsa boʻladi.

2. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. ⁿ noma’lumli ⁿ ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
   

a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn = b1,
			+ .... + a 2 n xn = b2 ,
^a21 ^x1 + ^a22 ^x2
	... ... ... ... ... ...
a	x + a	x	+ .... + a	x	= b .	(1)
	n1 1	n 2 2	nn	n	n

14. 
    noma’lumli ⁿ ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish
    

ikki bosqichda (dastlab chapdan oʻngga, soʻngra oʻngdan chapga qarab) amalga oshiriladi.

1-bosqich. (1) sistemani uchburchak koʻrinishga keltirishdan iborat.

Buning uchun, ^a11 ⁰ , deb (agar ^a11 ^{= 0} boʻlsa, 1- tenglamani ^ai1 ⁰ boʻlgan ⁱ -
tenglama bilan oʻrin almashtiriladi) birinchi tenglamaning chap va oʻng tomoni ^a11
₋ ^ai1

ga boʻlinadi. Soʻngra, 1 tenglama ^a11 ga koʻpaytirilib, ⁱ -tenglamaga qoʻshiladi.

Bunda, sistemaning 2-tenglamasidan boshlab ^x1 noma’lum yoʻqotiladi. Bu jarayonni ^{n −1} marotaba takrorlab quyidagi uchburchaksimon sistema hosil qilinadi:

WWW.OPENSCIENCE.UZ 316

"SCIENCE AND EDUCATION" SCIENTIFIC JOURNAL		AUGUST 2021 / VOLUME 2 ISSUE 8
x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1,
	x2	+ a23 x3 + ... + a2 n xn = b2 ,
	...................................................
		ann xn = bn .

2-bosqich. Oxirgi sistemani yechishdan iborat. Bunda, dastlab sistemaning
oxirgi tenglamasidan ^xn topilib, undan oldingi tenglamaga qoʻyiladi va undan ^xn−1
topiladi. Shu jarayon davom ettirilib, nihoyat 1-tenglamadan ^x1 topiladi.
Sistema Gauss usuli bilan yechilganda uchburchaksimon shaklga kelsa u yagona

yechimga ega boʻladi. Agar sistema pog’onasimon shaklga kelsa u cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi yoki yechimga ega boʻlmaydi.

Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotish usuli, deb ham ataladi. Bu jarayonni kattaroq teglamalar sistemasiga

qoʻllash mumkin, chunki bu juda samarali. Quyidagi misolni koʻrib chiqamiz:

5-misol. Tenglamalar sistemasining barcha mumkin boʻlgan yechimlarini

toping.

		2 x2 − x3 = −7,
	x1 + x2 + 3 x3 = 2,
−3 x + 2 x			+ 2 x	= −10.
	1	2	3
Yechish. Dastlab ikkinchi	va	uchinchi		tenglamadagi ^x1 noma’lumni yoʻq

qilinadi va keyin ^x2 noma’lumni uchinchi tenglamadan yoʻqotamiz. Keyin faqat ^x3 noma’lum qoladi. Lekin biz dastlabki 2 ta tenglamaning oʻrnini almashtirishdan boshlaymiz:

	x1 + x2 + 3 x3 = 2,
		2 x2 − x3 = −7,
−3 x + 2 x + 2 x = −10
	1	2	3

2-tenglamada ^x1 yoʻq. Keyingi qadamda 1-tenglamani ishlatib 3-tenglamadagi


^x1 noma’lumni yoʻqotamiz. Bu jarayon 1-tenglamani 3 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshish orqali bajariladi.


x₁ + x₂ + 3 x₃ = 2, 2 x₂ − x₃ = −7, 5 x₂ + 11x₃ = −4.

1

Keyingi bosqichda 2-tenglamani ² ga koʻpaytirib, ^x2 ning koeffitsiyentini 1 ga aylantiramiz.

WWW.OPENSCIENCE.UZ 317

"SCIENCE AND EDUCATION" SCIENTIFIC JOURNAL					AUGUST 2021 / VOLUME 2 ISSUE 8
x1 + x2 + 3 x3 = 2,
		1		7
	−		x3 = −
^x2					,
		2		2

5 x + 11x = −4.
23

Oxirgi tenglamalar sistemasidagi 2-tenglamani -5 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshamiz. ^x2 ni yoʻqotamiz.

	x		+ x							+ 3x = 2,
		1					2				3
						−	1				= −			7
	^x2							^x3						,
					2				2
						27		x =				27	.
						2				3	2
2
										koʻpaytirib ^x3 ^=^1 qiymatni topamiz. Bu
Soʻng, oxirgi tenglamani ^27						ga

qiymatni ikkinchi	tenglamaga qо’yib,	^x2 ^=^−^3 qiymatni hosil qilamiz.
^x2 ^=^−^3 qiymatlarni	birinchi tenglamaga	qо’yib ^x1 ^= ^2 qiymatni olamiz.

qilib, sistema yagona ^{(2; −3;1)} yechimga ega.