Численные методы линейной алгебры

3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений

Теория сходимости итерационных процессов для решения СЛАУ разработана достаточно хорошо. Здесь ограничимся рассмотрением нескольких достаточных условий сходимости.

Теорема 3.1 [3]. Процесс итерации для приведенной линейной системы (3.9) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы  меньше единицы, т.е. для итерационного процесса
х^(k)= +х^(k-1) (k=1,2,…)
достаточное условие сходимости есть



Доказательство.
При заданном произвольном векторе х^(о) , имеем последовательность приближений
х⁽¹⁾= +х^(о),
х⁽²⁾= +х⁽¹⁾,
……………
х^(k)= +х^(k-1).
Откуда
х^(k)=(Е++²+…+^k-1)+^kх^(o). (3.11)
Так как , то и
(Е++²+…+^k-1)= ,
которое следует из [3] (см. теорема 5, стр. 250).
Следовательно,
х= =(Е-)^-1. Теорема доказана.

Следствие 3.1. Процесс итерации для системы (3.9) сходится, если:
а) ,
б) ,
в) .


Следствие 3.2. Для системы уравнений

процесс итерации сходится, если выполнены условия теоремы Адамара.


3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации


Теорема 3.2 [3]. Пусть , тогда выполняется
, (3.12)
где х^(k) – к-ое приближение, х – точное решение.


Доказательство.
Пусть х^(о)=(0, 0,…, 0), тогда из (3.11) имеем
х^(k)=(Е++²+…+^k-1).
Точное решение
х=(Е++²+…+^k-1)+(^k+^k+1+…).
Тогда, вычитая из первого равенства второе и оценивая нормы, получим
,
где . Тогда имеем
что и требовалось доказать.
Оценка (3.12) называется априорной оценкой погрешности и позволяет оценить погрешность к-го приближения, не проведя вычислений, используя, нормы и . Также при заданной точности вычисления  можно определить необходимое число итераций из формулы .


Теорема 3.3 [3]. Пусть , тогда имеет место неравенство
.


Доказательство.
Пусть имеем приведенную систему линейных уравнений
х=+х. (3.13)
Тогда для к-го приближения имеем
х^(к)=+х^(к-1). (3.14)
Из (3.13) и (3.14) получим
х^(к)-х=(х^(к-1)-х). (3.15)
Прибавим к левой и правой части этого равенства х^(к-1) и тогда имеем
х^(к-1)-х= х^(к-1)-х^(к)+(х^(к-1)-х). Откуда
. (3.16)
Из (3.15) получим
, (3.17)
тогда из (3.16) и (3.17) имеем
, (3.18)
что и требовалось доказать.
Оценка (3.18) называется апостериорной оценкой погрешности, так как её получают по известной и вычисленным приближениям х^(к-1) и х^(к).