Численные методы линейной алгебры

2.5. Метод Халецкого

При решении системы уравнений Ax=b методом Халецкого [2-4, 10,11] используется «теорема о LU разложении» (см. §1.3) согласно которой можно написать

A=LU, (2.20)
где
L= , U= .
Тогда согласно формуле (2.20) элементы l_ij , u_ij определяются по формулам
(ij>1). (2.21)
(2.22)
Далее искомый вектор х вычисляется решением двух систем уравнений
Ly=b,
Ux=y.
Так как матрицы L и U треугольные, эти системы решаются по формулам
(2.23)
где a_in+1=b_i , (i=1,…,n).
(2.24)
Формулы (2.21)-(2.24) составляют алгоритм метода.


2.6. Метод квадратных корней

Метод квадратных корней [2, 3, 11] применяется при решении системы уравнений

Ах=b, (2.25)
когда матрица А – симметричная, т.е. А=А^Т , (a_ij=a_ji). При detA0 согласно «теореме о LU разложении» (см. §1.3) можно записать A=LU, где U=T, L=T^T. Тогда
А=Т^Т Т, (2.26)
где
Т= , Т^Т= .
Расписывая, формулу (2.26) получим формулы для вычисления t_ij

Отсюда находим
(2.27)
Система линейных алгебраических уравнений (2.25) имеет единственное решение, если t_ii0 (i=1,…,n), так как detA=(detT)²=(t₁₁^.t₂₂^. _… ^.t_nn)²0.
Используя, формулу (2.26) систему уравнений (2.25) можно переписать в виде двух систем уравнений
Т^Тy=b, (2.28)
Тх=у. (2.29)
Расписывая, систему уравнений (2.28) получим
(2.30)

Расписывая, систему уравнений (2.29) получим

(2.31)
Из формулы (2.30) находим
(2.32)
Из формул (2.31) определяем неизвестные
(2.33)
Формулы (2.27), (2.32) и (2.33) составляют алгоритм метода квадратных корней.