Численные методы линейной алгебры

2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы

Из линейной алгебры известно, что

АА^-1=Е , (2.15)
где Е – единичная матрица, А^-1 – обратная матрица.
Если обозначить i-й столбец обратной матрицы через y_i= , а i-й столбец единичной матрицы через е_i= , то (2.15) можно переписать в виде
АА^-1=(Ау₁, Ау₂,…, Ау_n)=(е₁, е₂,…, е_n)=Е или
Аy_i=e_i , (i=1, 2, …, n).
Рассмотрим расширенную матрицу
. (2.16)
Процесс исключения (прямой ход) будем проводить для всех строк расширенной матрицы (2.16).
Пусть а₁₁0, тогда первая строка матрицы (2.16) будет такой после деления на а₁₁
(1, ₁₂, ₁₃,…, _1n, ₁₁, ₁₂,…, _1n ), (2.17)
где _1j=a_1j/a₁₁, (j>1), _1j=e_1j/a₁₁ , (j1).
С помощью строки (2.17) исключим все элементы первого столбца a_i1 матрицы (2.16) для которых i>1. В результате получим
, (2.18)
где =a_ij-a_i1_1j , (i, j2), =e_ij-e_i1_1j , (i2, j1).
На следующем этапе разделим вторую строку матрицы (2.18) на 0, тогда эта строка примет вид
(0, 1, ₂₃, ₂₄,…, _2n, ₂₁, ₂₂,…, _2n ), (2.19)
где _2j= / , (j>2), _2j= / , (j1).
Используя строку (2.19) исключим все элементы второго столбца при i>2 матрицы (2.18). Тогда получим
,
где = - _2j , (i, j3), = - _2j , (i3, j1).
Продолжая, таким образом, окончательно получим
,
где _kj= / , (jk+1), _kj= / , (j1),
= - _kj , (i, jk+1), = - _kj , (ik+1, j1).
На этом заканчивается процесс исключения – прямой ход. Дальше реализуется обратный ход, для этого решается система уравнений
= , (i=1, 2,…,n),
что позволяет найти все столбцы обратной матрицы А^-1
у₁= ,…, y_n= .