Численные методы линейной алгебры

2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы


Определение 2.2. Если все главные миноры матрицы А n-го порядка отличны от нуля, то есть
а₁₁0, 0, …, detA0, (2.11)
то проведение процесса исключения без перестановок гарантируется.


Определение 2.3. Если для матрицы А условия (2.11) выполнены, то определитель этой матрицы равен произведению ведущих элементов в методе последовательного исключения Гаусса.

Пусть выполнены условия (2.11), тогда

detA=a₁₁ , (2.12)
где _1j=a_1j/a₁₁, (j>1).
Дальше поступаем, как в методе Гаусса. Первую строку определителя (2.12) умножаем на а₂₁ и вычитаем из второй строки. Затем первую строку определителя (2.12) умножаем на а₃₁ и вычитаем из третьей строки и т.д. (такие преобразования не изменяют величины определителя). Тогда получим
detA=a₁₁ =а_{11 .}
Дальше повторим, тогда будем иметь
detA=a₁₁ , (2.13)
где _2j= / , (j>2).
Дальше, первую строку определителя (2.13) умножаем на и вычитаем из второй строки. Затем первую строку определителя (2.13) умножаем на и вычитаем из третьей строки и т.д. Тогда получим
detA=a₁₁ = a_{11 .}
Повторим описанную выше процедуру, тогда получим
detA=a₁₁ = a₁₁
и т.д. пока не получим
detA=a₁₁ ._…. , (2.14)
где = - _к-1к , _к-1к= / ,
(k=2, 3,…,n).


Замечание 2.2. Если при detA0 условия (2.11) не выполнены, то реализация процесса исключения включает в себя перестановки соответствующих строк. При этом измениться только знак определителя, так как перестановка двух строк влечет перемену знака определителя. Для сохранения нужного знака определителя надо в формуле (2.11) приписывать нужный знак ведущим элементам, которые вычислялись с перестановкой строк.