Численные методы линейной алгебры

Доказательство

Расположим n – линейно независимые собственные вектора матрицы А в столбцах матрицы Т
Т= . Тогда
АТ=А = =
= =Т.
Т^-1АТ=. Теорема доказана.
Отметим, что преобразование Т^-1АТ называется преобразованием подобия.


Теорема 1.2 [9]. Пусть detA0, тогда матрица А разлагается в произведение
A=QR, (1.23)
где Q – ортогональная матрица, R – верхняя треугольная матрица.
Доказательство
Для доказательства необходимо найти такое преобразование, которое ортогонализирует столбы матрицы А. Пусть a_i – столбцы матрицы А. Так как detA0, то система векторов a_i являются линейно независимой и образует базис в пространстве Rⁿ.
Тогда отыскание нужного преобразования сводится к задаче об ортогонализации базиса. Ортогональный базис будем строить с помощью алгоритма Грама-Шмита.
Пусть Q=(q₁, q₂,…, q_n) – искомая матрица с ортогональными столбцами q_i.
Положим a₁=q₁. Далее вектор а₂ разложим по ортогональным векторам q₁, q₂:
a₂=r₁₂q₁+q₂ , (q₁, q₂)=0, r₁₂=( q₁, a₂)/ (q₁, q₁).
Затем вектор а₃ разложим по ортогональным векторам q₁, q₂, q₃:
a₃=r₁₃q₁+ r₂₃q₂+q₃, (q₁, q₃)=0, (q₂, q₃)=0, r₁₃=(q₁, a₃)/(q₁, q₁), r₂₃=(q₂, a₃)/(q₂, q₂) и т.д.
Окончательно, получим
a_i=r_1iq₁+ r_2iq₂+…+r_i-1,iq_i-1+q_i . (1.24)
Коэффициенты разложения (1.24) определяются из условий ортогональности (q_i, q_j)=0 при ij :
r_ij=(q_i, a_j)/(q_i, q_i), iМатричная запись (1.24) будет
A=Q =QR. Теорема доказана.
Для нахождения векторов q_i из (1.24) получим
q_i=a_i-r_1iq₁-r_2iq₂-…-r_i-1,Iq_i-1.


Теорема 1.3 [9]. Пусть detA0, тогда матрица А разлагается в произведение
A=QL,
где Q – ортогональная матрица, L – нижняя треугольная матрица.
Доказательство
Теорема доказывается аналогично теореме 1.2.