Kroneker-Kapelli teoremasi
Ta’rif: Aytaylik (1)
sistema berilgan bo’lsin uni qisqacha
(1)
ko’rinishda yozishga shartlashamiz.
n o’lchovli vektor tushunchasiga ega bo’lganimizdan so’ng (1) ning xar bir echimini (agar u mavjud bo’lsa) < > o’lchovli vektor deb qarashimiz mumkin.
Ta’rif:
Matritsalarni mos ravishda (1) sistemaning asosiy matritsasi va kengaytirilgan matritsasi deyiladi.
Teorema: (Kroneker-Kaelli). (1) tenglamalar sistemasi birgalashgan bo’lishi uchun R(A)=R(B) bo’lishi zaruriy va etarlidir.
II BOB.
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI
2-1-§. Chiziqli tenglamalar sistemasini zinapoya usuliga keltirish. Gauss usuli.
Ta'rif: Aytaylik (1)
n noma’lumli chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu sistema ustida elementar almashtirish natijasida unga ekvivalent bo’lgan maxsus ko’rinishga ega bo’lgan sistemaga keltiramiz. Birinchi tenglama sifatida (1) sistemani x1 oldidagi koeffitsient noldan farqli bo’lgan tenglamani olamiz. Umumiylikni chegaralamasdan birinchi tenglama sifatida (1) sistemaning birinchi tenglamasini va a110 deb olamiz.
a11x1+a12x2 +a1nxn=b1 a110 bu
tenglamaning har ikki tomonini , , ... , larga ko’paytirib, (1) sistemani ikkingchi, uchinchi va ‘. S- tenglamalarni mos tomonlariga qo’shib quyidagiga ega bo’lamiz:
Teorema: (2) bunda (2) tenglamaning ikkinchi tenglamasining har ikki tomonini , ... ,- larga ko’paytirib, 2-, ..., S- tenglamalarining mos tomonini qo’shsak,
Ta’rif: (3)
bunda . Bu jarayonni r - marta davom ettirib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:
(4)
bunda 123<...r, , ,..., lar noldan farqli sonlar, qolgan koeffitsientlar ixtiyoriy sonlar. Ozod ‘adlar , , , ..., lar ham ixtiyoriy sonlar.
Ta’rif: Hosil qilingan (4) sistema (1) sistemaga teng kuchli, chunki (4) sistema (1) chekli elementar elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan. SHuning uchun agar (4) sistema birgalashgan bo’lsa, (1) sistema ham birgalashgan bo’ladi.
(4) sistemani pog’ona(zina) simon sistema deyiladi. Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin.
10. =0 bu holda (4) sistemaning oxirgi 0= uringa ega bo’lmaydi. Bu ziddiyat (4) sistemani o’z navbatida (1) sistemani yechimga ega emasligi (birgalashmagan ekanligini) ko’rsatadi.
20. =0 bu holda (4) sistema birgalashgan bo’ladi. (4) sistemaning , ,..., noma’lumlarini xkr+1,...,xn noma’lumlari orqali ifodalay ularni ozod noma’lumlar deyiladi. Natijada (4) sistema quyidagi sistemaga keladi.
Xossa: (5)
Bundagi jn va 1, k2,...,kr dan boshqa ham ma qiymatlarni qabul qiladi. x1,x2,...,xk2 lar asosiy, xk2+1,..., xn larni ozod noma’lumlar deyiladi.
a) n=r (bu hol faqat sn bo’lganda o’ringa ega) bu xolda ham ma noma’lumlar asosiy bo’lib (5) dan x1=1, x2 = 2 ,..., xn=nga ega bo’lamiz, bu holda (5) (4) sistema o’z navbatda (1) sistema yagona yechimga ega bo’lib, (1) sistema aniq sistema bo’ladi.
b) r < n bu holda ozod noma’lumlar bo’lib ularga ixtiyoriy qiymatlar berib asosiy noma’lumlarni qiymatini topamiz. bu xolda (4) sistema o’z navbatida (1) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’lib, (1) sistema aniqmas sistema bo’ladi.
1-misol.
Gauss usuli bilan quyidagi sistema yechilsin.
(8) tenglamadan x1 ni topamiz
(12)
(12) tenglamani (9) tenglamadagi x1 ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz.
(12) tenglamani (10) tenglamadagi x1 ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz.
(12) tenglamani (11) tenglamadagi x1 ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz.
Yuqoridagilardan quyidagi yangi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz
(13) tenglamadan x2 ni topamiz
(16)
(16) tenglamani (14) tenglamadagi ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz
(15)
(16) tenglamani (15) tenglamadagi ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz
Yuqoridagilardan qo‘yidagi yangi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz
(17) tenglamadan ni topamiz
(19)
(19) tenglamani (18) tenglamadagi ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz
(20)
(20) tenglamaning qiymatini (19) tenglamadagi ni o‘rniga qo‘yib ni topamiz.
(21)
(21) va (20) qiymatlarini (18) tenglamadagi va ni o‘rniga qo‘yib ni topamiz.
(22)
(20), (21) va(22) larni qiymatlarini (12) tenglamadagi x2, x3 va x4 lar ni o‘rniga qo‘yib x1 ni topamiz.
Demak, topilgan ildizlar , , , berilgan tenglamalar sistemasini to‘liq qanoatlantiradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |