Bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemalari yechimlari orasidagi bog’lanishlar” mavzusidagi Bajardi

Kroneker-Kapelli teoremasi

Ta’rif: Aytaylik (1)

sistema berilgan bo’lsin uni qisqacha

(1)

ko’rinishda yozishga shartlashamiz.

n o’lchovli vektor tushunchasiga ega bo’lganimizdan so’ng (1) ning xar bir echimini (agar u mavjud bo’lsa) < > o’lchovli vektor deb qarashimiz mumkin.

Ta’rif:

Matritsalarni mos ravishda (1) sistemaning asosiy matritsasi va kengaytirilgan matritsasi deyiladi.

Teorema: (Kroneker-Kaelli). (1) tenglamalar sistemasi birgalashgan bo’lishi uchun R(A)=R(B) bo’lishi zaruriy va etarlidir.

II BOB.

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI

2-1-§. Chiziqli tenglamalar sistemasini zinapoya usuliga keltirish. Gauss usuli.

Ta'rif: Aytaylik (1)

n noma’lumli chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu sistema ustida elementar almashtirish natijasida unga ekvivalent bo’lgan maxsus ko’rinishga ega bo’lgan sistemaga keltiramiz. Birinchi tenglama sifatida (1) sistemani x₁ oldidagi koeffitsient noldan farqli bo’lgan tenglamani olamiz. Umumiylikni chegaralamasdan birinchi tenglama sifatida (1) sistemaning birinchi tenglamasini va a₁₁0 deb olamiz.

a₁₁x₁+a₁₂x₂ +a_1nx_­n=b₁ a₁₁0 bu

tenglamaning har ikki tomonini , , ... , larga ko’paytirib, (1) sistemani ikkingchi, uchinchi va ‘. S- tenglamalarni mos tomonlariga qo’shib quyidagiga ega bo’lamiz:

Teorema: (2) bunda (2) tenglamaning ikkinchi tenglamasining har ikki tomonini , ... ,- larga ko’paytirib, 2-, ..., S- tenglamalarining mos tomonini qo’shsak,

Ta’rif: (3)

bunda . Bu jarayonni r - marta davom ettirib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:

(4)

bunda 123<...r, , ,..., lar noldan farqli sonlar, qolgan koeffitsientlar ixtiyoriy sonlar. Ozod ‘adlar , , , ..., lar ham ixtiyoriy sonlar.

Ta’rif: Hosil qilingan (4) sistema (1) sistemaga teng kuchli, chunki (4) sistema (1) chekli elementar elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan. SHuning uchun agar (4) sistema birgalashgan bo’lsa, (1) sistema ham birgalashgan bo’ladi.

(4) sistemani pog’ona(zina) simon sistema deyiladi. Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin.

1­⁰. =0 bu holda (4) sistemaning oxirgi 0= uringa ega bo’lmaydi. Bu ziddiyat (4) sistemani o’z navbatida (1) sistemani yechimga ega emasligi (birgalashmagan ekanligini) ko’rsatadi.

2­⁰. =0 bu holda (4) sistema birgalashgan bo’ladi. (4) sistemaning , ,..., noma’lumlarini x_kr+1,...,x_n noma’lumlari orqali ifodalay ularni ozod noma’lumlar deyiladi. Natijada (4) sistema quyidagi sistemaga keladi.

Xossa: (5)

Bundagi jn va 1, k₂,...,k_r dan boshqa ham ma qiymatlarni qabul qiladi. x₁,x₂,...,x_k2 lar asosiy, x_k2+1,..., x_n larni ozod noma’lumlar deyiladi.

a) n=r (bu hol faqat sn bo’lganda o’ringa ega) bu xolda ham ma noma’lumlar asosiy bo’lib (5) dan x₁=₁, x₂ = ₂ ,..., x_n=_nga ega bo’lamiz, bu holda (5) (4) sistema o’z navbatda (1) sistema yagona yechimga ega bo’lib, (1) sistema aniq sistema bo’ladi.

b) r < n bu holda ozod noma’lumlar bo’lib ularga ixtiyoriy qiymatlar berib asosiy noma’lumlarni qiymatini topamiz. bu xolda (4) sistema o’z navbatida (1) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’lib, (1) sistema aniqmas sistema bo’ladi.

1-misol.

Gauss usuli bilan quyidagi sistema yechilsin.

(8) tenglamadan x₁ ni topamiz

(12)

(12) tenglamani (9) tenglamadagi x₁ ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz.

(12) tenglamani (10) tenglamadagi x₁ ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz.

(12) tenglamani (11) tenglamadagi x₁ ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz.

Yuqoridagilardan quyidagi yangi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

(13) tenglamadan x₂ ni topamiz

(16)

(16) tenglamani (14) tenglamadagi ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz

(15)

(16) tenglamani (15) tenglamadagi ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz

Yuqoridagilardan qo‘yidagi yangi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

(17) tenglamadan ni topamiz

(19)

(19) tenglamani (18) tenglamadagi ni o‘rniga qo‘yamiz va uni ixchamlaymiz

(20)

(20) tenglamaning qiymatini (19) tenglamadagi ni o‘rniga qo‘yib ni topamiz.

(21)

(21) va (20) qiymatlarini (18) tenglamadagi va ni o‘rniga qo‘yib ni topamiz.

(22)

(20), (21) va(22) larni qiymatlarini (12) tenglamadagi x₂, x₃ va x₄ lar ni o‘rniga qo‘yib x₁ ni topamiz.

Demak, topilgan ildizlar , , , berilgan tenglamalar sistemasini to‘liq qanoatlantiradi.