Bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemalari yechimlari orasidagi bog’lanishlar” mavzusidagi Bajardi

1-2-§. Birgalikda va birgalikda bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemalari

4-ta’rif. Agar chiziqli tenglamalar sistemasining aqalli bitta yechimi mavjud bo’lsa, u holda sistemani birgalashgan, agarda birorta ham yechimi mavjud bo’lmasa birgalashmagan sistema deyiladi. Agar sistema birgalashgan bo’lib, faqat birgina yechilmaga ega bo’lsa, uni aniq, bittadan ko’p yechilmalarga ega bo’lsa aniqmas sistema deyiladi.

Tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar deganda biz quyidagilarni tushunamiz:

a) tenglamalar sistemasini biror tenglamasini har ikki tomonini F maydonning noldan farqli elementiga ko’paytirishni;

b) tenglamalar sistemasini biror tenglamasini har ikki tomonini F maydonning noldan farqli elementiga ko’paytirib, sistemaning boshqa bir tenglamasiga qo’shishni;

v) tenglamalar sistemasida hamma koeffitsientlari va ozod hadi nollardan iborat bo’lsa, uni sistemadan chiqarish yoki sistemaga kiritish;

g) tenglamalar sistemasini ixtiyoriy ikkita tenglamasini o’zaro o’rinlarini almashtirish.

Quyida biz chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usuli deb atalgan noma’lumlarni ketma –ket yo’qotish usuli bilan tanishamiz.

1-teorema. Tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar bajarilsa, berilgan sistemaga teng kuchli sistema hosil bo’ladi. (1) sistema ustida elementar almashtirishlarni ketma –ket bajarib, (1) sistemani quyidagi “Trapetsiya ” ko’rinishiga keltiriladi:

_{ } (4)

Bu joyda _{ } .

2-teorema. Agar _{ } bo’lsa, (4) birgalashmagan, _{   } bo’lsa, (4) sistema birgalashgan aniq, _{   } bo’lsa, (4) sistema birgalashgan aniqmas bo’ladi.

Agar (4) birgalashgan aniq sistema (_{ } ) bo’lsa, u holda (4) sistemaning n- tenglamasidan _{ } ni (n-1) -tenglamasidan _{ } ni ,...., 1-tenglamasidan _{ } ni mos qiymatlari : _{ } larni ketma- ket topiladi. _{ } elementlar sistemasi (4) tenlamalar sistemasining (o’z navbatida unga teng kuchli bo’lgan (1) sistemaning ) yagona yechilmasi bo’ladi.

Agar (4) birgalashgan aniqmas (_{ } ) sistema bo’lsa, u holda (4) sistemani

_{ } (5)

Ko’rinishda yozamiz.

Bu sistemadagi _{ } noma’lumlarni ozod noma’lumlar (parametrlar) _{ } larni asosiy noma’lumlar deyiladi. _{ } larga ixtiyoriy qiymatlarni cheksiz ko’p berish mumkin, demak _{ } lar uchun ham (_{ } larga mos keluvchi) cheksiz ko’p qiymatlar topiladi. SHunday qilib, bu holda (4) sistemaning (unga teng kuchli (1) sistemaning) cheksiz ko’p yechilmalari mavjud bo’lar ekan.

Agar (1) sistemada _{ } bo’lsa, unday sistemani birjinsli deyiladi. Bir jinsli sistemalar hamma vaqt birgalashgan bo’ladi. CHunki _{ } uning yechilmasi bo’lib, bu bir jinsli sistemani ham Gauss usuli bilan yechiladi.