Бесконечные порядковые разложения jb-алгебр

Теорема 5. Пусть Aспециальная AJW-алгебра типа I без прямых слагаемых типа I₂. Тогда существуют попарно дизъюнктные центральные проекторы e₁, e₂ и e₃, e₁+e₂+e₃=1, и семейства непустых экстремально несвязных компактов (Q^k_)_k, k=1,2,3, такие, что справедливы следующие утверждения:
(1) ₁, ₂, и ₃множества кардиналов, причем компакт Q^k_ -стабилен для каждого _k (k:=1,2,3);
(2) существуют B-изоморфизмы
e₁A_1^SC_#(Q¹_, B_R(l₂(, R))_sa),
e₂A_2^SC_#(Q²_, B_C(l₂(, C))_sa),
e₃A_3^SC_#(Q³_, B_H(l₂(, H))_sa).
Семейство (Q^k_)_k единственно с точностью до конгруэнции.
Здесь, AJW-алгебры SC_#(Q¹_,B_R(l₂(,R))_sa), SC_#(Q²_,B_C(l₂(,C))_sa) и SC_#(Q³_,B_H(l₂(,H))_sa) в формулировке теоремы введены в работе [4].
В силу второй теоремы из данного замечания и § 2 имеет место следующая теорема.
Теорема 6. Пусть A—JW-алгебра типа I_n, где n—беcконечное кардинальное число. Тогда A имеет разложение A=A₁A₂A₃ такое, что A_iC(X_i)H_n(F_i) для каждого i, где X_i—гиперстоуновский компакт, H_n(F_i)—бесконечномерная йорданова алгебра эрмитовых nn-матриц и F₁=R, F₂=C, F₃=H.
Замечание. Как известно, для произвольного экстремально несвязанного компакта Q алгебра C(Q) всех непрерывных вещественно-значных функций на компакте Q является монотонно полной JB-алгеброй [5]. В силу предпоследней теоремы и теоремы 4 всякая AJW-алгебра типа I является монотонно полной.
Отметим, что прямое доказательство теоремы 6 построено в работе [6] автора. А также, можно построить прямое доказательство для следующей структурной теоремы для n-однородных AJW-алгебр (AJW-алгебру A типа I_n, где n—кардинал, иногда будем называть n-однородной AJW-алгеброй):
Теорема 7. Пусть A и A являются AJW-алгебрами типа I_n, где n бесконечный кардинал, с центрами Z и Z. Пусть {e_ij} и {e_ij}—бесконечные семейства матричных единиц для A и A соответственно. Пусть {e_iojo}_io,_jo=1..3 и {e_iojo} _io,_jo=1..3—подсемейства семейств {e_ij} и {e_ij} соответственно, e=_i=1..3e_iojo, e=_i=1..3e_iojo, подалгебры U_e(A) и U_e(A) изоморфны. Пусть  изоморфизм Z на Z. Тогда существует единственный изоморфизм A на A, который совпадает с  на Z и отображает e_ij в e_ij.


Использованная литература

[1] Arzikulov F.N. Infinite order and norm decompositions of C*-algebras. Int. Journal of Math. Analysis. -Vol. 2. no. 5-8. (2008) P. 255-262 (www.m-hikari.com).

[2] Arzikulov F.N. Infinite order decompositions of C*-algebras. SpringerPlus 5(1) (2016) 1-13.
[3] Кусраев А.Г. О структуре AJW-алгебр типа I₂// Сиб. мат. журн. -1999. -№4. – С. 905-917.
[4] Кусраев А.Г. Булевозначный анализ нормированных йордановых алгебр// Исследования в функциональном анализе и его приложениях М:Наука. – 2005. – С. 50-124.
[5] Stone M.H. Boundness properties in function-lattices// Canadian J.Math.-1949.-Vol.1.-P.176-186.
[6] Arzikulov F.N. AJW-algebras of type I and their classification// Sib. Adv. Math. – Novosibirsk, 1998. –Vol.8. –№ 2. – С. 30-48.


Infinite order decompositions of JB-algebras.


Abstract. In this paper, we study the concept of an infinite Pierce decomposition. An infinite decomposition of JC-algebras, constructed using an infinite orthogonal family of projectors, is introduced and studied. Let A be a JB-algebra with identity, p be a projector in A, i.e., p²=p. Then 1−p is also a projection and the subsets
{pA(1-p)}= {pa(1-p) : a ∈ A}, {pAp}={pap : a∈A},
{(1 − p)A(1 − p)}={(1 − p)a(1 − p) : a∈A}
are vector subspaces of the algebra A. The algebra A coincides with its Pierce decomposition on p, i.e.,
A={pAp}⊕{pA(1 − p)}⊕{(1−p)A(1−p)}.
These subspaces satisfy the following properties
{pAp}·{pAp}⊆{pAp}, {pAp}·{pA(1−p)}⊆{pA(1−p)},
{pA(1−p)}·{pA(1−p)}⊆{pA(1−p)},
{pA(1−p)}·{pA(1−p)}⊆{pAp}⊕{(1−p)A(1−p)},
{(1−p)A(1−p)}·{pA(1−p)}⊆{pA(1−p)},
{(1−p)A(1−p)}·{(1−p)A(1−p)}⊆{(1−p)A(1−p)}, {(1−p)A(1−p)}·{pAp}={0}.
In the present paper, we study an infinite analogue of this decomposition, namely, the infinite order decomposition (IOD). In 2008, by Arzikulov the notion of IOD is defined as follows: let A be a C*-algebra on an infinite-dimensional Hilbert space H, {p_ξ} be an infinite orthogonal family of projections in A with the least upper bound 1, computed in B(H), and let _^p_ Ap_ ={{a_}: a_p_Ap_, for all , , and there exists a number KR such that _k,l=1ⁿa_klK, for all nN, and {a_kl}_kl=1ⁿ{a_}}, then the family _^p_Ap_ is called the infinite order decomposition of the algebra A with respect to the family {p_ξ}. It was proved in [Arz1], [Arz2] that the infinite order decomposition (IOD) of a C*-algebra forms a complexification of an order unit space, and if a C*-algebra is monotone complete (not necessarily weakly closed), then its IOD is also monotone complete ordered vector space. It is also established that the IOD of a C*-algebra A is a C*-algebra if and only if this C*-algebra A is a von Neumann algebra. For this propose operations of multiplication and involution are introduced in the IOD. It turns out that the order and norm defined in the IOD of a C*-algebra on a Hilbert space H coincide with the usual order and norm in B(H). It is also proved that, if a C*-algebra A with an infinite orthogonal family {p_ξ} of projectors in A such that sup_ξ p_ξ=1 is a von Niemann algebra and the projections in the set {p_ξ} are pairwise equivalent, then A=_^p_Ap_. Moreover, if the Banach space _^p_Ap_ is not weakly closed, then _^p_Ap_ is not a C*-algebra. As a result, we prove that the IOD of a C*-algebra forms a complexification of an order unit space. In this sense, if a C*-algebra is monotone complete (and not necessarily weakly closed), then its IOD is monotone complete, and the IOD of a C*-algebra A is a C*-algebra if and only if this C*-algebra A is a von Neumann algebra.
In this paper, the following set _^{p_Ap_}={{a_}: a_{p_Ap_}, for all , , is introduced and studied, and there exists a number KR, such that _k,l=1ⁿa_klK, for all nN, and {a_kl}_kl=1ⁿ{a_}}, where A is a JC-algebra of self-adjoint operators on a Hilbert space H, {p_i} is an infinite orthogonal family of projections of the algebra A with LUB equal to 1 in the Jordan algebra B(H)_sa of all self-adjoint bounded linear operators on the Hilbert space H.
In this paper, we prove that if A is a JW-algebra and {p_} is an infinite orthogonal family of projectors of the algebra A with LUB equal to 1 in the Jordan algebra B(H)_sa, then A=_^{p_Ap_}. Also, if _^{p_Ap_} is a Jordan algebra, then it is a JW-algebra.
And also, it is proved that a0 if and only if for any finite family {p_k}_k=1ⁿ{p_i} we have {pap}0, where p=_k=1ⁿ p_k, A is a JC-subalgebra in B(H)_sa, {p_i}_iI is an infinite orthogonal family of projections of the algebra A with LUB 1 in the algebra B(H)_sa and aA.
In sections 2, 3, using the concept of IOD, objects C(X)M_n(F), where F=R, C, H (quaternion algebra), are introduced. It is proved that C(X)M_n(F), where F=R, C, H, are JW-algebras of type I. Further, using C(X)M_n(F), where F=R, C, H, the classification theorem for JW-algebras of type I is refined.


Keywords: JB-algebra, JC-algebra, infinite order decomposition, ordered normed space with order unit.
Mualliflar haqida umumiy ma'lumot:


Arziqulov Farhodjon Ne'matjonovich – fizika-matematika fanlari doktori, V.I. Romanovskiy nomidagi matematika instituti bosh ilmiy xodimi, Andijon davlat universiteti matematika kafedrasi dotsentri. E-mail: [e-mail], Tel.: [phone]
Nabijonova Feruza Baxtiyor qizi  Farg’ona davlat universiteti tayanch doktoranti


Solijanova Kamola Abdushukur qizi  Andijon davlat universiteti, matematika kafedrasi o’qituvchisi