Бесконечные порядковые разложения jb-алгебр

Kalit so'zlar: JB-algebra, JC-algebra, cheksiz tartiblangan yoyilma, tartibli bir ega tartiblangan normalangan fazo.


Кириш
В данной работе изучено понятие бесконечного пирсовского разложения. Введено и исследовано бесконечное разложение JC-алгебр, построенное, по бесконечному ортогональному семейству проекторов. Пусть A — JB-алгебра с единицей, p — проектор в A, т.е., p²=p. Тогда 1−p также является проектором и подмножества
{pA(1-p)}= {pa(1-p) : a ∈ A}, {pAp}={pap : a∈A},
{(1 − p)A(1 − p)}={(1 − p)a(1 − p) : a∈A},
являются векторными подпространствами алгебры A. A совпадает со своим пирсовским разложением по p, т.е.
A={pAp}⊕{pA(1 − p)}⊕{(1−p)A(1−p)}.
Эти подпространства удовлетворяют следующим свойствам
{pAp}·{pAp}⊆{pAp}, {pAp}·{pA(1−p)}⊆{pA(1−p)},
{pA(1−p)}·{pA(1−p)}⊆{pA(1−p)},
{pA(1−p)}·{pA(1−p)}⊆{pAp}⊕{(1−p)A(1−p)},
{(1−p)A(1−p)}·{pA(1−p)}⊆{pA(1−p)},
{(1−p)A(1−p)}·{(1−p)A(1−p)}⊆{(1−p)A(1−p)}, {(1−p)A(1−p)}·{pAp}={0}.
В настоящей работе исследуется бесконечный аналог этого разложения, а именно бесконечное порядковое разложение (БПР). В [1] понятие БПР определяется следующим образом: пусть A — C*-алгебра на бесконечномерном гильбертовом пространстве H, {p_ξ} — бесконечное ортогональное семейство проекторов в A с точной верхней границей (ТВГ) 1, вычисленной в B(H), и пусть _^p_ Ap_ ={{a_}: a_p_Ap_, для всех , , и существует такое число KR, что _k,l=1ⁿa_klK, для всех nN, и {a_kl}_kl=1ⁿ{a_}}, тогда семейство _^p_Ap_ называется бесконечным порядковым разложением алгебры A по семейству {p_ξ}. В работах [1], [2] доказано, что бесконечное порядковое разложение (БПР) С*-алгебры образует комплексификацию пространства порядковой единицы, и, если С*-алгебра монотонно полна (не обязательно слабо замкнута), то ее БПР также монотонна полное упорядоченное векторное пространство. Также установлено, что БПР C*-алгебры является C*-алгеброй тогда и только тогда, когда эта C*-алгебра является алгеброй фон Неймана. Для этого вводятся операции умножения и инволюции в БПР. Оказывается, порядок и норма, определенные в БПР С*-алгебры на гильбертовом пространстве Н, совпадают с обычными порядком и нормой в В(Н). Также доказано, что если C*-алгебра A с бесконечным ортогональным семейством {p_ξ} проекторов в A, таким что sup_ξ p_ξ=1, является алгеброй фон Немана и проекторы в множестве {p_ξ} попарно эквивалентны, то A=_^p_Ap_. Более того, если банахово пространство _^p_Ap_ не является слабо замкнутым, то _^p_Ap_ не является C*-алгеброй. В результате доказывается, что БПР C*-алгебры образует комплексификацию пространства с порядковой единицей. В этом смысле, если C*-алгебра монотонно полна (и не обязательно слабо замкнута), то ее БПР монотонно полна, и БПР C*-алгебры A является C*-алгеброй тогда и только тогда, когда эта A C*-алгебра является алгеброй фон Неймана.
Данной работе введено и исследовано следующее множество _^{p_Ap_}={{a_}: a_{p_Ap_} , для всех , , и существует такое число KR, что _k,l=1ⁿa_klK, для всех nN, и {a_kl}_kl=1ⁿ{a_}}, где AJC-алгебра самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве H, {p_i}бесконечное ортогональное семейство проекторов алгебры A с ТВГ равной 1 в йордановой алгебре B(H)_sa всех самосопряженных ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве H.
В данной работе доказано, что, если A является JW-алгеброй и {p_} бесконечное ортогональное семейство проекторов алгебры A с ТВГ равной 1 в йордановой алгебре B(H)_sa, то A=_^{p_Ap_}. А также, если _^{p_Ap_} является йордановой алгеброй, то оно является JW-алгеброй.
А также, доказано что a0 тогда и только тогда когда для всякого конечного семейства {p_k}_k=1ⁿ{p_i} имеет место {pap}0, где p=_k=1ⁿ p_k, AJC-подалгебра в B(H)_sa, {p_i}_iI бесконечное ортогональное семейство проекторов алгебры A с ТВГ 1 в алгебре B(H)_sa и aA.
В параграфах 2, 3, используя понятие БПР, вводятся объекты C(X)M_n(F), где F=R, C, H (алгебра кватернионов). Доказано, что C(X)M_n(F), где F=R, C, H, являются JW-алгебрами типа I. Далее, используя C(X)M_n(F), где F=R, C, H, уточнена теорема о классификации JW-алгебр типа I.