Бесконечные порядковые разложения jb-алгебр

2. Йордановы алгебры
бесконечномерных эрмитовых матриц

В данном параграфе рассматриваются бесконечномерные матрицы.

Пусть nкардинальное число Ξмножество индексов с мощностью =n. Пусть {e_ij}множество матричных единиц такое, что e_ij является бесконечной nn-мерной матрицей, (i,j)-ая компонента которойединица, и остальные компонентынули. Можно непосредственно установить, что {e_ij} образует семейство матричных единиц, т.е. выполняются условия (i, j, k, l)
(a) e_ii²=e_ii;
(b) e_iie_ij=(1/2)(e_ij+e_ji) (ij);
(c) (e_ij+e_ji)²=e_ii+e_jj (ij);
(d) (e_ij+e_ji)(e_jk+e_jk)=(1/2)(e_ik+e_ki) (ik);
(e) (e_ij+e_ji)(e_kl+e_lk)=0 ({i,j}{k,l}=)
Пусть {m_}_Ξмножество nn-мерных матриц, тогда через _m_ обозначим матрицу, компоненты которой есть суммы соответствующих компонент матриц множества {m_}_Ξ.
Пусть H_n(R) означает множество следующего вида:
H_n(R)={_ij_ije_ij: (ij) _ijR, _ij=_ji,
(KR₊)(nN)({e_kl}ⁿ_kl=1{e_ij})_kl=1..n_kle_klK},
где  матричная норма. Заметим, что относительно покомпонентных алгебраических операций H_n(R) является векторным пространством. Рассмотрим бинарную операцию (x, y) yx, x,yH_n(R), где x={_ije_ij}, y={_ije_ij}, xy={1/2(_l_il_lj+_l_il_lj)e_ij}. Нетрудно установить, что условие определения множества H_n(R) эквивалентно следующему условию
H_n(R)={_ij_ije_ij: (ij) _ijR, _ij=_ji, (KR₊)({x_i}l₂(Ξ))
_j_i_ijx_i²K²_ix_i²},
где l₂(R,Ξ)вещественное гильбертово пространство квадратично суммируемых семейств вещественных чисел с индексным множеством Ξ, алгебраическое произведение элементов H_n(R) определим следующим образом: если даны x=_ij_ije_ij, y=_ij_ije_ij, то x_y= _ij1/2[_(_i_j+_i_j)]e_ij. Относительно алгебраических операций H_n(R) является йордановой алгеброй и H_n(R)B(l₂(R,))_sa.
В рамках обозначений данного параграфа рассмотрим подмножество семейств {_ije_ij} следующего вида
H_n(F)={_ij_ije_ij:(ij)_ijF,_ij=_ji*,(KR₊)
(nN)({e_kl}ⁿ_kl=1{e_ij})_kl=1..n_kle_klK},
где F=C, H. Нетрудно проверить, что относительно нормы
_ij_ije_ij=sup_{mN,{ekl}kl=1..m{eij}}_kl=1..m_kle_kl
H_n(F) является банаховым пространством. Рассмотрим отображение
(x,y)yx, x,yH_n(F),
где x={_ije_ij}, y={_ije_ij}, xy={1/2(_l_il_lj+_l_il_lj)e_ij}. Аналогично йордановой алгебре H_n(R) можно доказать, что относительно алгебраических операций H_n(F) является йордановой алгеброй и
H_n(F)B(l₂(F,))_sa,
l₂(F,Ξ)левое гильбертово пространство квадратично суммируемых семейств элементов F с индексным множеством Ξ.
Рассмотрим подмножество семейств {_ije_ij} следующего вида
M_n(C)={_ij_ije_ij:(ij)_ijC,
(KR₊)(nN)({e_kl}ⁿ_kl=1{e_ij}) _kl=1..n_kle_klK},
где {e_ij}—семейство матричных единиц следующего вида e_ij={_ij}, т.е. e_ij—матрица, (i,j)-ая компонента которой имеет значение 1, остальные компоненты имеют значения 0. Нетрудно проверить, что относительно нормы
_ij_ije_ij=sup_{mN,{ekl}kl=1..m{eij}}_kl=1..m_kle_kl
M_n(C) является банаховым пространством. Рассмотрим отображение (x,y)yx, x,yH_n(F), где x={_ije_ij}, y={_ije_ij}, xy={(_l_il_lj)e_ij}. Нетрудно проверить, что M_n(C)=H_n(C)iH_n(C) и, так же, как выше, M_n(C)B(l_n(C,)), где l₂(C,Ξ)комплексное гильбертово пространство квадратично суммируемых семейств комплексных чисел с индексным множеством Ξ. Пусть M_n(C)=(M_n(C),).
Пусть Xгиперстоуновский компакт и
C(X)M_n(C)={ _ij_ij(x)e_ij: ij _ij(x)C^с(X),
(KR₊)(mN)({e_kl}_kl=1^m{e_ij}_kl=1..m_kl(x)e_klK},
где _kl=1..m_kl(x)e_klK означает (x_oX) _kl=1..m_kl(x_o)e_klK. Легко проверить, что относительно поточечных алгебраических операций множество C(X)M_n(C) является векторным пространством. Известно, что векторное пространство C(X,M_n(C)) непрерывных векторнозначных отображений является C*-алгеброй. Пусть p_i постоянное e_ii-значное отображение на X, т.е. p_iпроектор алгебры A. Тогда {p_i} является ортогональным семейством проекторов с sup_i p_i=1 в алгебре A. Имеем C*-алгебра C(X,M_n(C)) может быть вложена в алгебру B(H) для некоторого гильбертова протсранства H. Без ограничения общности, можно считать B(H)=M_(C) для некоторого кардинального числа . Тогда C(X)M_n(C) также вложится в алгебру M_(C). Пусть (a_)сеть из C(X)M_n(C), слабо сходящаяся к элементу a в M_(C). Тогда для всяких i, j сеть (p_ia_p_j)_C(X)p_ij, где {p_ij}система матричных единиц по {p_i}, слабо сходится к элементу p_iap_j в B(H). При этом p_iap_jC(X)p_ij поскольку C(X)p_ij слабозамкнуто в M_(C) для всяких i, j. В то же время, так как aM_(C), то существует такое положительное число K, что _k,l=1^mp_kap_lK, для всех mN, и {p_kap_l}_kl=1ⁿ{p_iap_j}. Отсюда aC(X)M_n(C). Поскольку сеть (a_) взята произвольным образом, то векторное пространство C(X)M_n(C) слабо замкнуто в алгебре M_(C), при этом оно является слабым замыканием С*-алгебры C(X,M_n(C)). Поэтому C(X)M_n(C) является алгеброй фон Неймана. Заметим, что множество {p_i} является максимальным ортогональным множеством абелевых проекторов с центральным носителем 1. Следовательно, C(X)M_n(C) является алгеброй фон Неймана типа I_n. Тогда C(X)H_n(C) является JW-алгеброй типа I_n.
Пусть Xгиперстоуновский компакт и
C(X)H_n(R)={ _ij_ij(x)e_ij: (ij _ij(x)C(X),_ij(x)=_ji(x))
(KR)(mN)({e_kl}_kl=1^m{e_ij}_kl=1..m_kl(x)e_klK},
где _kl=1..m_kl(x)e_klK означает (x_oX) _kl=1..m_kl(x_o)e_klK. Точно также как в случае алгебры C(X)M_n(C) получим, что C(X)H_n(R) является JW-алгеброй типа I_n. Аналогичным образом можно построить JW-алгебру типа I_n C(X)H_n(H).