Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

2.3. Ichki shtraf funksiyalar usulining yaqinlashuvchiligi haqida. Asosiy tasdiqlashni isbotlash uchun quyidagi lemma kerak bo’ladi.

1 - lemma. Mayli -yopiq chegaralangan to’plami bo’lib va bu to’plamning ichi - bo’sh emas bo’lsin. Mayli funksiyasi berilgan bo’lib va bu funksiya da uzluksiz bo’lib va ning chegarasiga yaqinlashgan sari cheksiz turda o’suvchi funksiya bo’lsin. Unda shunday bir nuqtasi bor bo’lib va

bo’ladi.

Isbotlash.. to’plamida funksiyaning quyi aniq chegarasini deb belgilaymiz. Unda nuqtalar to’plami topilib, ular uchun

bo’ladi.

to’plami yopiq va chegaralangan bo’lgani sababli ketma-ketligi ba’zi-bir nuqtasiga yaqinlashuvchi bo’ladi. Shuning bilan birga, to’plamining chegarasida nuqtasi joylashishi mumkin emas ekanligi bunda aniq, sababi funksiyasining xususiyatlariga bog’liq, undan ushbu quyidagi kelib chiqar edi:

.

Demak, nuqtasi to’plamiga tegishli bo’ladi, bundan esa funksiyasi to’plamida uzluksiz bo’lgani sababli, bundan quyidagi kelib chiqadi:

Lemma isbotlandi.

Endi quyidagi masalani qaraymiz:

(2.6)

bunda -uzluksiz funksiyasi, esa ichi bo’sh bo’lmagan yopiq chegaralangan to’plam, bunda bo’ladi. Mayli, - manfiy emas qiymatdagi shtraf funktsiyalai bo’lib, ular uzluksiz, to’plamining chegarasiga yaqinlagan sari cheksiz o’suvchi va indikator funksiyasiga yaqinlashuvchi bo’lsin. Unda 1-lemma asosida to’plamida bor bo’ladigan

shtraf funksiyalarning global minimum nuqtalari (2.6) masalaning yechimlar to’plamiga yaqinlashuvchi bo’ladi. Bu fakt ushbu teoremani o’rnatadi: