Mavzu: Birinchi tur xosmas integrallarining yaqinlashuvchanligi

MAVZU:Birinchi tur xosmas integrallarining yaqinlashuvchanligi.

Tuzuvchi G.Xudaybergenova

• Reja:
• 1,Ixtiyoriy funksiya xosmas integralining yaqinlashuvchiligi.

2,Ixtiyoriy funksiya xosmas integralining yaqinlashuvchiligi haqida

Koshi teoremasi.

3, Ixtiyoriy funksiya xosmas integralining yaqinlashuvchiligi haqida Dirixle alomati.

Biz oraliqda berilgan funksiyaning shu oraliq bo‘yicha olingan

• Biz oraliqda berilgan funksiyaning shu oraliq bo‘yicha olingan
• xosmas integral funksiya
• da chekli limitga ega bo‘lgan holda yaqinlashuvchi deb atadik. Demak
• xosmas integralning yaqinlashuvchiligi tushunchasi, biz avval o‘rgangan tushuncha – funksiyaning chekli limiti orqali ifodalandi. Binobarin bu integralning yaqinlashuvchilik sharti F(t) funksiyaning dagi chekli limiti mavjud bo‘lishi shartidan iborat bo‘ladi.
• 1-teorema. (Koshi teoremasi). Quyidagi xosmas integral

ning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun,   > 0 son olinganda ham, shunday soni topilib bo‘lgan ixtiyoriy t , t′ lar uchun

• ning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun,   > 0 son olinganda ham, shunday soni topilib bo‘lgan ixtiyoriy t , t′ lar uchun
• tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
• Bu teorema nazariy ahamiyatga ega bo’lgan muhim teorema bo‘lib, undan xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligini aniqlashda foydalanish qiyin bo‘ladi.
• 2-teorema. Agar integral yaqinlasuvchi bo‘lsa, u holda
• integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Isbot. Shartaga ko‘ra integral yaqinlashuvchi. yuqoridagi teoremaga asosan olinganda ham, shunday topiladiki,

• Isbot. Shartaga ko‘ra integral yaqinlashuvchi. yuqoridagi teoremaga asosan olinganda ham, shunday topiladiki,
• bo‘lganda <  tengsizlik bajariladi
• Ammo tengsizlikni e’tiborga olsak, u holda
• bo‘lishini topamiz

Shunday qilib,   > 0 son olinganda ham, shunday topiladiki,

• Shunday qilib,   > 0 son olinganda ham, shunday topiladiki,
• bo‘lganda bo‘ladi. Bundan Koshi teoremaga
• asosan
• integralning yaqinlashuvchiligini topamiz. Teorema isbot bo‘ldi.
• Eslatma integralning uzoqlashuvchi bo‘lishidan

integarlning uzoqlashuvchi bo‘lishi har doim kelib chiqavermaydi, ya’ni ba’zi funksiyalar uchun da uzoqlashuvchi esa yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Masalan, ushbu Integral yaqinlashuvchi, ammo

• Masalan, ushbu Integral yaqinlashuvchi, ammo
• esa uzoqlashuvchidir
• Ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
• integral absolyut yaqinlashuvchi integral deb ataladi, funsiya esa
• oraliqda absolyut integralanuvchi funksiya deyiladi
• Ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lib
• integral shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi.

Shunday qilib xosmas integralni yaqinlashuvchilikka tekshirish

• Shunday qilib xosmas integralni yaqinlashuvchilikka tekshirish

quyidagi tartibda olib borilishi mumkin: da bo’lsin. Bu holda

integralning yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) ligini alomatlardan

foydalanib topish mumkin. Boshqa hollalar funksiyaning absolyut qiymatining oraliq bo‘yicha

integralinin qaraymiz. Agar biror alomatga ko‘ra

integralning yaqinlashuvchiligi topilsa, unda yuqoridagi teoremaga ko’ra berilgan

• integral ham yaqinlashuvchiligi topilgan bo‘ladi.
• Agar biror alomatiga ko‘ra ntegralning uzoqlashuvchiligini
• aniqlasakqo’shimcha tahlil qilishni talab etadi.

Mashq va savollar:

• Mashq va savollar:
• Ixtiyoriy funksiya xosmas integralining yaqinlashuvchiligi?
• Ixtiyoriy funksiya xosmas integralining yaqinlashuvchiligi haqida Koshi teoremasi?
• Ixtiyoriy funksiya xosmas integralining yaqinlashuvchiligi haqida Dirixle alomati?
• 1) f(x) funksiya [ a, +) oraliqda uzluksiz va uning shu oraliqdagi boshlang‘ich F(x) (F(x)=f(x)) funksiyasi chegaralangan,
• 2) g(x) funksiaya [ a, +) oraliqda g(x) hosilaga ega va uzluksiz funksiya,
• 3) g(x) funksiya [ a, +) da kamayuvchi,