Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

Kompaktli fazoning uzluksiz akslantirishdagi obrazi kompaktli fazo bo’lishini isbotlang.

Yechim. X kompaktli topologik fazo , f esa X ni biror Y topologik fazoga uzluksiz akslantirish bo’lsin. f (X) fazoning xohlagan ochiq qoplamasini qaraymiz. f akslantirish uzluksiz bo’lganligi sababli to’plamlar ochiq bo’lib, sistema X fazoning ochiq qoplamasi bo’ladi. X fazo kompaktli bo’lgani uchun chekli


qism qoplama mavjud bo’ladi, ya’ni . Bundan .


Demak, f (X) fazo kompaktli.

8. X kompaktni Y Hausdorf fazosiga o’zaro bir qiymatli uzluksiz akslantirish gomeomorfizm bo’lishini isbotlang.

Yechimi. X fazosidan xohlagan yopiq F to’plamni olamiz. F
kompakt (5-misolga qarang) bo’lgani uchun , to’plam (8- misolga qarang) kompakt bo’ladi. Natijada 6- misol bo’yicha G to’plam yopiq. Demak , akslantirishda xohlagan yopiq to’plamning proobrazi yopiq. Bundan akslantirishning uzluksiz ekanligi , demak , ning gomeomorfizm ekanligi kelib chiqadi.

8. 
   Quyidagi shartlarning o’zaro ekvivalent ekanligini isbotlang: i ) X fazosining har bir sanoqli ochiq qoplamasi chekli qism