Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

X topologik fazo sanoqli - kompakt bo’lishi uchun yopiq qism to’plamlardan iborat har bir sanoqli markazlashgan sistemasi bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega bo’lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

Yechimi: Zarurligi. Sanoqli - kompakt X fazoning yopiq to’plam- laridan iborat sanoqli markazlashgan sistema berilgan bo’lsin. bo’lsin. markazlashgan sistema bo’lganligidan va yopiq to’plamlarning kesishmasi yopiq bo’lganligidan , har bir to’plam bo’sh bo’lmagan yopiq to’plam bo’ladi. Shu bilan birga ,

munosabat , demak , tengligi o’rinli. Natijada quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:

1. 
   hol. Biror natural sonidan boshlab
   

tengliklari o’rinli. U holda


.

2. 
   
   nuqta
   hol. to’plamlar orasida cheksiz sondagi o’zaro har xil to’plamlar mavjud. Bu hol barcha lar o’zaro har xil bo’lgan holni qarash yetarli. nuqtalardan iborat ketma- ketlik X fazoning cheksiz qism to’plami bo’ladi. X sanoqli-kompakt bo’lganligidan , ketma - ketlik kamida bitta limit nuqtaga ega.
   

nuqtalar to’plamiga tegishli bo’lganligidan, uchun ham limit nuqta bo’ladi, to’plamning yopiqligidan Bundan , ya’ni .
Yetarliligi esa 2 va 10 misollardan kelib chiqadi.

8. Metrik fazodan olingan E to’plamning kompakt bo’lishi uchun uning sanoqli-kompakt bo’lishi zarur va yetarli.