Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

1-§. Kompaktlik

topologik fazo bo’lsin. Agar A to’plam va biror to’plamlar sistemasi uchun A⸦ munosabatda bajarilsa,


sistema A uchun qoplama deyiladi. Agar bu sistemaning biror qismi ham A uchun qoplama bo’lsa , u qism qoplama deyiladi.
Agar qoplamaga kiruvchi har bir to’plam ochiq bo’lsa, bu qoplama A uchun ochiq qoplama deyiladi.

Ta’rif. Agar A to’plamning ixtiyoriy ochiq qoplamasidan chekli qism qoplama ajratib olish mumkin bo’lsa, A kompakt to’plam deyiladi.

qism to'plamlar sistemasi berilgan bo'lsin. Agar bu sistemaning ixtiyoriy chekli qism sistemasining kesishmasi bo’sh bo’lmasa, bunday sistema markazlangan sistema deyiladi.

1. 
   teorema. topologik fazo kompakt bo’lishi uchun undagi yopiq to’plamlardan iborat har qanday markazlangan sistemaning kesishmasi bo’sh bo’lmasligi zarur va kifoyadir.
   

Isboti. Agar
ochiq to‘plamlardan iborat sistema bo‘lsa, u
holda sistema yopiq to‘plamlardan iborat. Teoremaning isboti quyidagi duallik prinsipidan bevosita kelib chiqadi: ixtiyoriy uchun

X \

2. 
   teorema. Kompakt fazoning yopiq qism to‘plami kompakt to‘plamdir.
   

Isboti. F to‘plam X kompakt fazoning yopiq qism to‘plami va sistema F ning yopiq qism to‘plamlaridan iborat ixtiyoriy markazlangan sistema bo‘lsin. U holda har bir to‘plam X da ham yopiq bo‘ladi va demak, sistema X dagi uning yopiq to‘plamlaridan iborat markazlangan sistemadir. Bundan ekanligi kelib chiqadi. 1-teoremadan F ning kompakt ekanligi kelib chiqadi.

3. 
   teorema. Xausdorf fazosining kompakt qism to‘plami yopiqdir.
   

Isboti. X Xausdorf fazosi, K esa uning kompakt qism to‘plami bo‘lsin. Ixtiyoriy nuqtani olamiz; unda har bir nuqta uchun x va y larning mos ravishda shunday ochiq bo‘lgan va atroflari mavjudki,
sistema K uchun ochiq qoplama, demak, uning
chekli

qism	qoplamasi	mavjud.	Endi				va
			ochiq	to‘plamlarni	olsak,	u holda to‘plam	y

nuqtaning ochiq atrofi bo‘lib, ; bundan ekanligi , ya’ni munosabat kelib chiqadi. Shunday qilib, munosabat isbotlandi. To’plam yopilmasining xossalariga ko’ra tenglik kelib chiqadi.
Kompakt fazolarning uzluksiz aks ettirishlari qator muhim xosslarga ega.

4. 
   teorema. Kompakt fazoning uzluksiz aks ettirishdagi tasviri kompakt fazodir.
   

Isboti. X kompakt fazo, f esa X ni biror Y fazoga uzluksiz aks ettirish bo‘lsin. f(X) fazoning ixtiyoriy ochiq qoplamasini olamiz, ya’ni . So‘nggi munosabatdan X= tenglik kelib chiqadi.

Bundan va f ning uzluksizligidan sistema X ning ochiq qoplamasi ekanligi kelib chiqadi va, demak, undan chekli qism qoplamani ajratib olish mumkin, ya’ni ushbu tenglikni yozishimiz

mumkin. Bundan f(X)= tenglik kelib chiqadi, ya’ni sistema f(X) ni qoplaydi, demak, f(X) kompaktdir.