Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

5–teorema. X kompakt fazoni Y Xausdorf fazosiga o‘zaro bir qiymatli va uzluksiz aks ettirish gomeomorfizm bo‘ladi.


Isboti. Teoremani isbotlash uchun ning uzluksizligini ko‘rsatish kifoya. F to‘plam X ning yopiq qism to‘plami bo‘lsin. 2- teoremaga ko‘ra kompaktdir. Endi 4-teoremani qo‘llab , f(F) ning kompakt


ekanligini ko‘ramiz, va, nihoyat, 3- teoremaga ko‘ra f(F) yopiqdir. Demak, ixtiyoriy F yopiq to‘plam uchun yopiqdir.
6–teorema. X kompakt fazoda f uzluksiz funksiya berilgan bo‘lsin. U holda f fuksiya X fazoda chegaralangan bo‘lib, o‘zining aniq yuqori va quyi chegaralariga ega.


Isboti. X kompakt fazoda aniqlangan f uzluksiz funksiya X ni Xausdorf
fazosi bo‘lmish R ga uzluksiz aks ettirish demakdir. 4- teoremaga ko’ra kompakt. Bundan f(X) ning R da chegaralangan va yopiq to‘plam ekanligi kelib chiqadi, va demak, f funksiya X da o‘zining aniq yuqori chegarasiga va aniq quyi chegarasiga erishadi.

2-§. Kompakt to’plamlar va uzluksiz akslantirishlar 1.Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi haqida.

1. 
   teorema. Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirish natijasidagi obrazi kompakt to’plam bo’ladi.
   

orqali
Isboti. Aytaylik , M kompakt to’plam va T:M uzluksiz akslantirish bo’lsin. U holda to’plamning kompakt ekanligini isbotlaymiz.
to’plamdan ixtiyoriy ketma - ketlik olib,
nuqtaning T akslantirishdagi proobrazini belgilaymiz: . U holda M to’plamdagi ketma - ketlikka ega bo’lamiz. M kompakt to’plam bo’lganligi sababli bu ketma - ketlikdan M to’plamning biror c nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma- ketlik ajratib olish mumkin . T akslantirishda bu qism ketma- ketlik ning qism ketma - ketlikka o’tadi. T akslantirishning c nuqtada uzluksizligidan


.


Shunday qilib, to’plamdan olingan xar bir ketma - ketlik ning elementiga yaqinlashuvchi qism ketma - ketlikka ega. Bu esa to’plamning kompakt ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.

2.