Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

3-§. Topologik fazolarning ta’rifi va misollar

Metrik fazolarning asosiy tushunchalari (limit nuqta, to’plamning yopilmasi va hokazo) atrof hamda ochiq to’plam tushunchalari yordamida kiritilgan edi. Bunda atrof va ochiq to’plamlar ko’rilayotgan fazoda berilgan metrika bilan aniqlangan edi. Umuman, berilgan to’plamda ochiq to’plamlar sistemasini aksiomalar yordamida bevosita kiritish mumkin.

Ta’rif: T to’plamdagi topologiya deb, X ning qism to’plamlaridan iborat va quyidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi sistemaga aytiladi:
;


Agar ⸦ bo’lsa, u holda ,

bu yerda indekslar to’plami I ixtiyoriy;

va n ixtiyoriy natural son bo’lsa, u holda .


juftlik topologik fazo deb ataladi. X ning sistemasiga tegishli bo’lgan qism to’plamlari ochiq to’plamlar deb ataladi. Shunday qilib, topologik fazoni berish - bu biror X to’plamni olib, unda topologiyani kiritish, ya’ni X ning ochiq to’plam deyiladigan qism to’plamlarni aniqlash demakdir. Topologik fazoning elemantlari uning nuqtalari deb ham ataladi.
Bitta X to’plamda turli xil topologiyalar kiritish mumkin bo’lib, bunda turli topologik fazolar hosil bo’ladi.
va sistemalar X dagi ikkita topologiya bo’lsin. Agar munosabat o’rinli bo’lsa, topologiya topologiyaga nisbatan kuchliroq topologiya deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Bu holda topologiyani topologiyaga nisbatan kuchsizroq (sustroq) ham deyiladi.


Misollar.

1. 
   Har qanday metrik fazodagi ochiq to’plamlar sistemasi topologiyaning va aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ixtiyoriy metrik fazo tabiiy ravishda topologik fazo hamdir.
   
2. 
   X ixtiyoriy to’plam va uning barcha qism to’plamlari sistemasi bo’lsin deb faraz qilaylik. Unda topologik fazodir. X dagi butunlay topologiya diskret topologiya deyiladi.
   
3. 
   X to’plamda faqat bilan X dan iborat sistema ham topologiya hosil qiladi (antidiskret topologiya).
   

Yuqorida keltirilgan 2- misoldagi topologiya X to’plamdagi barcha topologiyalarning eng kuchlisidir, 3- misoldagi topologiya esa bular orasida eng kuchsizidir.

4. 
   Ikki elementdan iborat to’plamda hammasi bo’lib to’rtta topologiya mavjud . Ular quyidagilardir:
   

<sup>,


.</sup>