Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

Uzluksiz funksionalning xossalari.

Aytaylik , ( metrik fazoda f uzluksiz funksional berilgan bo’lsin.

2. 
   teorema. f funksional M ◻ X kompakt to’plamda chegaralangan hamda o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
   

Isbot. 1- teoremaga asosan , f funksionalning qiymatlar to’plami f (M) = E , kompakt to’plam bo’ladi. Demak , E chegaralangan ya’ni shunday a va b sonlar topilib , a bo’ladi. Bundan f funksionalning M da chegaralanganligi kelib chiqadi.
E to’plam chegaralangan . Shuning uchun uning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari mavjud . Endi belgilash kiritamiz va 0 ga yaqinlashuvchi ketma - ketlikni olamiz.
Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko’ra , ketma - ketlikning har bir hadi uchun M to’plamga tegishli shunday nuqtalar

topilib , bu nuqtalar uchun

- (n= 1, 2,…) (1)
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Hosil bo’lgan ketma - ketlikdan M to’plamning nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma - ketlik ajratamiz . Bu nuqtada f funksional uzluksiz . Shu sababli bo’ladi . Demak , f funksional o’zining eng katta qiymatini qabul qiladi.
Shunga o’xshash , f funksionalning eng kichik qiymatga erishishi isbotlanadi. Teorema isbot bo’ldi.

2. Kantor teoremasi.

( metrik fazoda uning biror M qism to’plami va f
funksional berilgan bo’lsin.


Ta’rif . Agar ixtiyoriy uchun shunday topilsaki shartni qanoatlantiruvchi har qanday uchun
^-

tengsizlik bajarilsa , u holda f funksional M to’plamda tekis uzluksiz deyiladi .

M to’plamda tekis uzluksiz funksionalning shu to’plamda uzluksiz bo’lishini ko’rish qiyin emas.
Haqiqatdan , aytaylik , nuqta M to’plamga tegishli bo’lsin. Hadlari M to’plamga tegishli bo’lib , nuqtaga yaqinlashuvchi Biror ketma - ketlikni tuzib olamiz. U holda ixtiyoriy
uchun shunday topiladiki , katta n larda
tengsizlikning bajarilishidan - tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak , nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma - ketlik uchun sonli ketma – ketlik ga yaqinlashadi. Bu esa f funksionalning nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi. Tanlashimizga ko’ra , nuqta M to’plamning ixtiyoriy
nuqtasi bo’lganligi sababli , f funksional M to’plamda uzluksiz bo’ladi.
Quyidagi teorema funksional tekis uzluksizligining yetarli shartini ifodalaydi :

3. 
   teorema (Kantor). Agar X metrik fazodagi f funksional
   

M◻X	kompakt to’plamda uzluksiz	bo’lsa ,	u	holda	f	funksional
shu	to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi.

Isbot. Aytaylik , f funksional M to’plamda uzluksiz , lekin tekis uzluksiz bo’lmasin . U holda e musbat son uchun r , | shartlar asosida M to’plamning va nuqtalarini tanlab olish mumkin. Endi , M to’plamning
r , |f shartlarni qanoatlantiruvchi va nuqtalar juftini tanlaymiz.
Shu kabi r , |f shartlarni
qanoatlantiruvchi nuqtalar juftini tanlash cheksiz davom ettirilib, va nuqtalar ketma - ketligiga ega bo’lamiz. Kompakt to’plam M ning nuqtalaridan tuzilgan ketma- ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma - ketlik ajratib olish mumkin. Bu qism ketma - ketlikning limiti bo’lsin. Ikkinchi ketm - ketlikning shu nomerlarga mos hadlaridan tuzilgan qism ketma - ketlik ham nuqtaga yaqinlashadi.
Endi tanlanishga ko’ra


bo’lganligi sababli , o’ng tomondagi qo’shiluvchilarning kamida biri n ga bog’liq bo’lmagan holda dan kichik bo’la olmaydi. Bu esa funksionalning nuqtada uzluksizligiga zid.
Teorema isbot bo’ldi.