Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

Yechimi. Zarurligi. E to’plam kompakt bo’lsin. E to’plamdan ixtiyoriy ketma-ketlikni olamiz. Bu ketma-ketlikning birorta ham qismiy ketma-ketligi E da yaqinlashuvchi emas deb faraz qilaylik. U holda E to’plamning har bir z elemanti berilgan ketma-ketlikning faqat chekli hadlarinigina o’z ichiga oluvchi V (z) atrofga ega bo’ladi. Bu atroflar E uchun ochiq qoplama hosil qiladi. E kompakt bo’lgani uchun chekli sondagi elementlar mavjud bo’lib


munosabat o’rinli bo’ladi. Ammo bu munosabatning o’rinli bo’lishi mumkin emas, sababi to’plamlarga ketma-ketligining faqat chekli sondagi hadlari tegishli, E to’plamga esa barcha hadlari tegishli. Bu ziddiyatdan farazimizning noto’g’ri ekanligi kelib chiqadi. U holda E dan olingan ixtiyoriy ketma-ketlik E da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikka ega ekan. Bundan esa E to’plamning sanoqli-kompakt ekanligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. E sanoqli-kompakt to’plam bo’lsin. Faraz qilaylik E kompakt bo’lsin. U holda E to’plamdan chekli qism qoplama ajratib olish mumkin bo’lmagan ochiq qoplamasi mavjud bo’ladi. Nolga intiluvchi kamayuvchi sonli ketma-ketlik olamiz. E uchun chekli
-to’r tuzib (Hausdorf teoremasi bo’yicha chekli -to’r tuzish mumkin), bu to’rning har bir elementi atrofida radiusi bo’lgan shar hosil qilamiz. Sanoqli-kompakt to’plamning yopiq qism to’plami sanoqli- kompakt bo’lgani uchun hosil qilingan har bir shar yopilmasining E to’plam bilan kesishmasi sanoqli-kompakt bo’ladi. Bu kesishmalar- dan hosil bo’lgan to’plamlarning diametrlari 2 sonidan katta emas. Natijada E to’plam diametrlari 2 sonidan katta bo’lmagan chekli sondagi sanoqli-kompakt to’plamlarning birlashmasi ko’rinishda ifoda- lanadi. Farazimiz bo’yicha sistemaning chekli qism qoplamasi mavjud emas. U holda birlashmadagi sanoqli-kompaktlarning hech biri ham chekli ochiq qoplamaga ega emas. Bu sanoqli-kompaktni orqali belgilaymiz.
Endi to’plam uchun chekli -to’r tuzamiz va bu to’rning har
bir elementi atrofida radiusi ga teng shar hosil qilib, to’plamni, yuqoridagiday qilib, diametrlari 2 sonidan katta bo’lmagan chekli sondagi sanoqli-kompaktlarning birlashmasi ko’rinishida ifodalaymiz.
Bu b irlashmadagi sistemaning chekli sondagi to’plamlari bilan qoplanmaydigan kompakt to’plamni orqali belgilaymiz.

Bu jarayonni cheksiz davom ettirsak sanoqli-kompaktlarning ka- mayuvchi

ketma-ketligiga ega bo’lamiz. Bu ketma-ketlikdagi hech bir sanoqli- kompakt sistemaning chekli sondagi to’plamlari bilan qoplan- maydi va diam . ξ element bu kompaktlarga tegishli umumiy nuqta bo’lsin (10- misolga qarang). ξ bo’lgani uchun sis- temaga tegishli to’plam topilib, ξ bo’ladi va 2 bo’lsin. U holda . Bu farazimizga zid. Demak, E to’plam kompakt.