Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

5-§. Topologik fazolarni uzluksiz aks ettirish

Ta’rif.	,		topologik fazolar ,	aks	ettirish va
bo’lsin.		Agar	nuqtaning	har bir U	atrofi uchun

ning shartni qanoatlantiruvchi V atrofi mavjud bo’lsa, f aks ettirish nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar f aks ettirish X ning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, u X da uzluksiz yoki, qisqacha, uzluksiz deyiladi. Xususan , X topologik fazoni to’g’ri chiziqqa uzluksiz aks ettirish X fazodagi uzluksiz funksiya deyiladi. Biror topologik fazoni ikkinchi bir topologik fazoga aks ettirish-
ning uzluksizligini ochiq to’plamlar yordamida ham ta’riflash mumkin

1. 
   teorema. topologik fazoni topologik fazoga aks ettirish uzluksiz bo’lishi uchun Y fazodagi har bir ochiq to’plamning X dagi asli ochiq bo’lishi zarur va kifoyadir.
   

Isboti. uzluksiz aks ettirish va biror ochiq to’plam bo’lsin. to’plamning X da ochiqligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy elementni olamiz. U holda va toıplam ochiq
bo’lgani uchun u o’zining nuqtasining atrofi hamdir. Shuning uchun aks ettirishning uzluksizligidan ning shartni qanoatlantiruvchi atrofi mavjudligi kelib chiqadi. Bundan
ekanligi va demak, ning ochiq to’plamligi kelib chiqadi.
Endi aks ettirish uchun dagi har bir ochiq to’plamning asli da ochiq bo’lsa, u holda ning uzluksizligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy nuqtani olib, ning biror atrofini olaylik.
Umumiyatlikni buzmagan holda ni ochiq to’plam deb faraz qilishimiz mumkin. Agar to’plamni bilan belgilasak, u holda va
ochiq to’plam, demak, u ning atrofi va .
To’plam to’ldiruvchisining asli shu to’plam aslining to’ldiruvchisiga teng bo’lgani uchun 1-teoremadan quyidagi teorema bevosita kelib chiqadi.

2. 
   teorema. topologik fazoni topologik fazoga aks ettirish uzluksiz bo’lishi uchun dagi har bir yopiq to’plamning dagi asli yopiq bo’lishi zarur va kifoyadir.
   

Matematik analizdan ma’lum bo’lgan uzluksiz funksiyalarning superpozitsiyalari uzluksiz bo’lishi haqidagi teorema topologik fazolarni uzluksiz aks ettirishlari uchun quyidagicha umumlashtiriladi.