Berdaq nomidagi Qaraqalpoq davlat unversiteti

Teorema. Ixtiyoriy separable metrik fazolar ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi. Isbot. Faraz qilaylik, sanoqli to’plam fazoda mutloq zich to’plam bo’lsin. fazo bazasi sifatida quydagi ochiq to’plamlar jamlanmasini olamiz: . Bu jamlanma fazo bazasini tashkil etadi .Haqiqatan ham, ning separabel ekanligidan ixtiyoriy nuqta va yetarlicha kichik son uchun shunday topiladiki, u uchun o’rinli . Bundan tashqari, shunday k nomer topiladiki, ( shartni qanoatlantiradigan qilib olish yetarli.

fazodagi ixtiyoriy ochiq to’plam ochiq sharlar birlashmasidan iboratdir. Har bir ochiq shar esa, ning to’plamlari birlashmasidir. Demak, jamlanma sanoqli baza ekan.

Tarif. Agar bo’lsa, topologik fazoning to’plamasi fazoda mutloq zich deyiladi, yani to’plamning tegish nuqtalari butun fazodan iborat. Agar to’plam uchun int tenglik o’rinli bo’lsa, to’plam hech qayerda zich (albatta, ning ) bo’lolmaydi. Boshqacha aytganda, hech qayerda zich bo’lmagan to’plamlar hech qanday ochiq to’plamda zich emasdir. Hech qayerda zich bo’lmagan to’plamlarga tekislikdagi ixtiyoriy to’g’ri chiziq, ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziqlar va ixtiyoriy algebraic chiziqlar kiradi. Mutloq zich to’plamlarga sonlar to’g’ri chizig’ida ratsional , irratsional sonlar to’plami kiradi. fazoda esa mutloq zich to’plamga hamma koordinatalariratsional sondan iborat bo’lgan to’plam kiradi. Shunu takidlash kerakki,agar to’plam da mutloq zich bo’lsa ,u holda to’plam albatta topologik fazo diskret fazo bo’lsa, uning yagona mutloq zich to’plami fazoning o’zidan iborat bo’ladi.

Tarif. topologik fazoda mutloq zich to’plamlarning eng kichik quvvatlisi uning zichligi deyiladi va ko’rinishta belgilanadi.

Tarifga ko’ra, bu yerda bilan to’plam quvvati belgilanadi.

Demak, topologik fazo separabel bo’lsa u holda uning zichligi ga teng ekan. Yani, uning zichligi sanoqli to’plam quvvatiga tengdir.

Diskret topologic fazolar uchun esa, o’rinli ekan .Ixtiyoriy topologic fazo uchun esa, tengsizlik doimo o’rinlidir.