Berdaq nomidagi Qaraqalpoq davlat unversiteti

2-§ Ochiq va yopiq to’plamlar

Tarif. Agar topologic fazoda biror A va U to’plamlar uchun A U munosabatni qanoatlantiruvchi G ochiq to’plam mavjud bo’lsa,U to’plam A to’plamning atirofi deyiladi. Xususan, A= bo’lsa ,u holda U to’plam nuqtaning atirofi deyiladi.

1-Teorema. Topologik fazoda A to’plam ochiq bo’lishi uchun u o’zining har bir nuqtasining atirofi bo’lishi zarur va kifoya.

Isbot. Ravshanki, agar Aochiq to’plam bo’lsa, u o’zining har bir nuqtasining atirofidir.

Aksincha, agar ixtiyoriy uchun shunday ochiq to’plam mavjud bo’lib, munosabat bajarilsa, u holda A= . Demak, A to’plam ochiq to’plamlarning yig’indisi sifatida topologiyaning aksiomasiga asosan ochiqdir.

Topologik fazodagi x nuqtaning barcha atiroflari sistemasini B(x) bilan belgilaymiz.

Algebraik sistemalarda (masalan, gruppa, halqa, vector fazolarda) odatda topologiya nuqtalarning atiroflari sistemasi orqali kiritiladi. Bunday kiritilishning qanuniyligi quydagi teoremadan kelib chiqadi.