Banah algebralari

5-teorema. kommutativ Banax algebrasi, undagi barcha kompleks gomomorfizmlar to 'plami bo’lsin.
a)har bir maksimal ideal biror kompleks gomomorfizmning
yadrosidir;
b) har bir kompleks gvmomorfizmning yadrosi maksimal idealdir;
c) elementning teskarisi mavjud bo 'lishi uchun, ixtiyoriy da . bo 'ishi zarur va kifoya;
d) elementning teskarisi mavjud bo 'lishi uchun hech qanday idealga tegishli emasligi zarur va kifoya;
e) bo 'lishi uchun tenglik biror uchun bajarilishi zarur va kifoya.
Isboti. a) biror maksimal ideal bo'lsin. yopiq bo'lgani sababli Banax algebrasidir (3-teorema). Biror elementni olamiz. Ravshanki, ushbu
to'plam idealdir va . Demak, . Xususan, biror va uchun , ya'ni . Faktor algebraning Tarifiga asosan , ya'ni . Olingan ixtiyoriy bo'lgani sababli faktor algebrada har bir noldan farqli elementning teskarisi mavjud. Gelfand-Mazur teoremasiga asosan (aniqrog’I izometrik izomorf).
Endi dan olingan elementga bilan aniqlanuvchi kompleks sonni mos qo'ysak, ravshanki, kompleks gomomorfizm bo'ladi va
b) agar bo'lsa, ravshanki, ideal va uning o'lchami birga teng, demak, maksimal idealdir;
c) agar mavjud bo'lsa, u holda 4-teoremaning a) qismiga asosan ixtiyoriy uchun . Aksincha mavjud bo'lmasa, to'plam idealdir va , demak, 2-teoremaga asosan, I biror maksimal idealning qismi. Demak, . a) ga asosan shunday mavjudki, , ya'ni ;
d) Ravshanki, teskarisi mavjud bo'lgan har qanday element hech bir idealga tegishli bo'la olmaydi. Aksincha, agar mavjud bo'lmasa, biron idealning elementi ekanligi v) da ko'rsatildi;
e) agar biror uchun bo'lsa, u holda , demak,
v) ga asosan mavjud emas, ya'ni . Aksincha, bo'lsa, mavjud emas. Demak, yana c) ga asosan biror uchun , ya'ni .