Banah algebralari

Banah algebralari:
11.1- . Banax algebralarining tarifi kompleks sonlar maydoni ustida vektor fazo berilgan bo'lsin.
Tarif. Agar vektor fazoda yana bir amal - elementlarni ko'paytirish amali kiritilgan bo'lib, u quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa, X fazo kompleks algebra deyiladi:
1) ,
2) ,
3) ,
bu yerda .
Ushbu bobda faqat kompleks algebralar ko'rilgani sababli kompleks algebralarni, qisqacha, algebralar deymiz. Agar ixtiyoriy uchun tenglik bajarilsa, kommutativ algebra deyiladi.
Agar algebraning shunday e elementi mavjud bo'lsaki, e tenglik ixtiyoriy uchun o'rinli bo'lsa, e element birlik element, yoki qisqacha birlik, esa birli algebra deyiladi. Ravshanki, algebrada birlik yagonadir, chunki ham birlik bo'lsa, u holda . Agar algebraning biror qism to 'plami dagi amallarga nisbatan algebra hosil qilsa, u holda qism algebra deyiladi.
Tarif. birli algebrada norma kiritilib, bu normada Banax fazosi bo'lsa va ushbu
4)
5)
munosabatlar bajarilsa, Banax algebrasi deyiladi.
Ba'zan Banax algebrasining tarifida birlik element mavjud ekanligi hamda 5) aksiomaning bajarilishi talab qilinmaydi. Bu holda algebrani kengaytirib birlik elementli algebra hosil qilish mumkin. Darhaqiqat, algebra 1) -4) shartlarni qanoatlantirsin va birlikka ega bo'lmasin. sifatida juftliklar to'plamini olamiz va da algebraik amallar va normani quyidagicha kiritamiz:

Ravshanki, algebra va element undagi birlik elementdir. Normaning
5) xossasi o' ravshan 4) xossa esa ushbu munosabatlardan ko'rinib turibdi:

Nihoyat algebraning to "aligi ning va ning to'laligidan kelib chiqadi. Demak, - Banax algebrasi. Ravshanki, algebrani algebraning ko'rinishdagi elementlaridan iborat qismi sifatida qarash mumkin. algebralar, chiziqli aks ettirish bo'lsin. Agar ixtiyoriy uchun munosabat bajarilsa, gomomorfizm deyiladi. O'zaro bir qiymatli gomomorfizm izomorfizm deyiladi. Agar izomorfizm ixtiyoriy uchun tenglikni qanoatlantirsa, u izometrik izomorfizm deyiladi.
Banax algebrasiniag 4) aksiomasidan ko'paytirish amalining uzluksizligi kelib chiqadi, ya'ni va bo'lsa, u holda .
Darhaqiqat,

chunki chegaralangan ketma-ketlik. Xususan, ko'paytirish amali o'ngdan va chapdan uzluksiz, ya'ni uchun 1-teorema. kompleks Banax fazosi va shu bilan birga birli algebra bo 'lib, undagi ko 'paytirish amali o'ngdan va chapdan uzluksiz bo 'lsin. U holda dagi normaga ekvivalent bo`lgan shunday norma mavjudki, bu normada Banax algebrasidir.
Isboti. ning har bir elementiga ushbu tenglik yordamida operatorni qo'yamiz. to'plam fazoda shu ko'rinishdagi operatorlar to'plami bo’lsin.
dagi ko'paytirish amali o'ngdan uzluksiz bo'lgani uchun fazo dagi chegaralangan operatorlarning Banax fazosi, 7.1 - . Ravshanki, moslik chiziqli va Tarifdagi 1) xossaga asosan Agar bo'lsa, u holda , ya'ni . Demak, moslik ni ga aks ettiruvchi izomorfizmdir. qism fazo da yopiqligini va demak, to'la ekanligini ko'rsatamiz. va bo'lsin deb faraz qilaylik, bu yerda Bundan dagi ko'paytirish amalining chapdan uzluksizligidan foydalansak, yuqoridagi tenglikdan da tenglik hosil bo 'ladi. Endi belgilash kiritamiz. U holda , ya'ni . Shunday qilib, - Banax fazosidir. Ushbu

tengsizlikka asosan teskari moslik uzluksizdir. 7.4-§ dagi teskari operator haqidagi teoremaga asosan moslik ham uzluksiz. Demak, shunday son mavjudki, ya'ni

Agar da normani tenglik bilan aniqlasak, (1) ga asosan bu norma dagi asl normaga ekvivalent. Bu normada esa Banax algebrasidir, chunki operator normasining xossalariga asosan