Banah algebralari

Misollar. 1. Kompakt Xausdorf topologik fazosida uzluksiz funksiyalarning Banax algebrasini ko'ramiz (11. 1-§,3-misol) va shu algebradagi maksimal ideallarni o'rganamiz. fazoning biron qismini olsak, ravshanki, to'plamning har bir nuqtasida nolga teng funksiyalardan iborat
to' plam idealdir.
Biz quyidagi tasdiqni isbotlaymiz: algebrada biror to plam maksimal ideal bo 'lishi uchun, biron tayinlangan nuqtada nolga aylanuvchi barcha funksiyalardan iborat bo 'lishi zarur va kifoya.
a) to'plam ideal ekanligi ravshan. Uning maksimal ekanligini ko'rsatamiz. Ixtiyoriy uchun funksiya ning elementidir, chunki . Demak, ixtiyoriy ushbu

ko'rinishda yoyilar ekan, ya'ni . Demak, -maksimal ideal;

1. 
   aksincha, biror maksimal ideal bo"lsin. Shu idealga tegishli bo'lgan barcha
   

funksiyalar biror tayinlangan nuqtada nolga teng ekanligini ko'rsatamiz. Agar bunday emas deb faraz qilsak, u holda ixtiyoriy uchun shunday mavjudki, . Bu funksiya uzluksiz bo'lgani sababli nuqtaning shunday -atrofi mavjudki, munosabat ixtiyoriy uchun o'rinli. fazoning ochiq qoplamasidan, kompakt bo'lgani uchun chekli qism qoplama ajratish mumkin. ideal ekanligini hisobga olsak,

Ravshanki, ixtiyoriy uchun , demak, mavjud va uzluksiz, ya'ni . Bu esa 1-teoremaning a) qismiga zid. Demak, shunday mavjudki, . Shartga ko'ra maksimal bo'lgani sababli .
2. Endi -misol) algebradagi maksimal ideallarning umumiy ko'rinishini topamiz. Buning uchun 5-teoremaga asosan algebradagi kompleks gomomorfizmlarning umumiy ko'rinishini aniqlash kifoya. Ravshanki, son formula orqali kompleks gomomorfizmni aniqlaydi. Aksincha ixtiyoriy kompleks gomomorfizm shu ko'rinishga ega ekanligini ko'rsatamiz.
Har bir gomomorfizm o' zining funksiyadagi qiymati bilan to"la aniqlanadi (chunki uchun va chiziqli va uzluksiz bo'lgani sababli, u butun W ga yagona ravishda davom ettiriladi). bo"lsa, . Demak, 4-teoremaning b) qismiga asosan

Bundan , ya'ni . Shunday qilib, , bundan
.
Shunday qilib, har bir kompleks gomomorfizm va, demak, 5-teoremaga asosan har bir maksimal ideal oralig'idagi biror son bilan aniqlanadi. Bunda maksimal ideal shu nuqtada nolga aylanuvchi barcha funksiyalardan iborat.
Endi biz olingan natijani quyidagi teoremani isbotlashga tatbiq qilamiz: Viner teoremasi. funksiya absolyut yaqinlashuvchi bo'lgan Fure qatoriga yoyilib, hech bir nuqtada nolga teng bo'lmasin. U holda funksiya ham absolyut yaqinlashuvchi bo'lgan Fure qatoriga yoyiladi.