Banah algebralari

4-teorema. Banax algebrasi, undagi maksimal ideallar to’plami bo’lsin.
a) to 'plam kompakt Xausdorf topologik fazosidir;
b) moslik algebrani algebraning biror qismiga aks ettiruvchi gomomorfizmdir; bu gomomorfizmning yadrosi algebraning radikaliga teng. Xususan, bu moslik monomorfizm bo 'lishi uchun yarimsodda algebra bo 'lishi zarur va kifoya,
c) ixtiyoriy uchun . Agar regulyar algebra bo 'Isa, moslik bilan uning dagi aksi orasidagi izometrik izomorfizmdir.
Paragrafni yarimsodda algebralarning ba'zi xossalarini keltirish bilan yakunlaymiz.
5-teorema. X, Y kommutativ Banax algebralari, ixtiyoriy gomomorfizm bo`lsin. Agar Y yarimsodda algebra bo 'lsa, uzluksizdir.
Isboti. X, Y Banax fazolari bo'lgani sababli dagi yopiq grafik haqidagi teoremaga asosan ning grafigi yopiqligini ko'rsatish kifoya. ketma-ketlik uchun va bo'lsa, ekanligini isbotlash kerak. ravishda va dagi kompleks gomomorfizmlar to'plamlari bo'lsin. Ixtiyoriy ni olib, murakkab aks ettirishni ko'ramiz. Ravshanki, 11.3- dagi 4-teoremaga asosan va uzluksiz. Demak,
ya'ni . Bu yerda ixtiyoriy bo'lgani uchun . Endi yarimsodda ekanligini nazarga olsak, .
Natija. Yarimsodda kommutativ Banax algebralari orasidagi har bir izomorfizm gomomorfizmdir.
Involyutiv algebralar
11.5-§. Involyutiv algebralar biror kompleks algebra bo'1sin (kommutativ bo 'lishi shart emas).
Tarif. ning har bir elementiga biror elementni mos qo'yuvchi aks ettirish quyidagi to'rt shartni qanoatlantirsa, u involyutsiya deyiladi:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
bu yerda .
Involyutsiya bilan ta'minlangan algebra involyutiv algebra deyiladi.
Masalan, algbebrada aks ettirish involyutsiyadir funksiya ga kompleks qo'shma funksiya). Involyutsiyaga eng muhim misollardan biri bu Gilbert fazosidagi chegaralangan operatordan unga qo'shma operatorga o'tish amalidir.
Agar element uchun tenglik o'rinli bo'lsa, o`z-o`z i g a qo`shma yoki Ermit elementi deyiladi.
1-teorema. involyutiv Banax algebrasi bo "lsin. U holda ixtiyoriy uchun:
a) elementlar Ermit elementlaridir;
b) yagona ravishda ko 'rinishda tasvirlanadi, bu yerda u, v Ermit elementlari;
c) e-Ermit elementi;
d) x^{-1} element mavjud bo 'lishi uchun mavjud bo 'lishi zarur va kifoya; bu holda ;
e) bo 'ishi uchun bo ' lishi zarur va kifoya.
Isboti. a) Shunga o' va
b) ravshanki, u, v sifatida mos ravishda va elementlarni olish mumkin.
Endi boshqa usul bilan yoyilgan bo' . Agar . Ikkinchi tomondan, , demak, .
Bu tenglikdan kelib chiqadi;
c) bo'lgani uchun a) ga asosan ya'ni ;
d) mavjud bo'lsa, holda , ya'ni
. Aksincha, mavjud bo'lsa, u holda , ya'ni mavjud;
e) uchun mavjud emas. Demak, c) ga asosan mavjud emas, ya'ni . Shunga o'xshash bo"lsa, bu holda