Banah algebralari

Isboti. Teoremaning shartiga ko'ra Ixtiyoriy uchun bo'lgani sababli har bir uchun . 5-teoremaning c) iborasiga asosan mavjud. Demak,
11.4-§. Kommutativ Banax algebralarini ifodalash
Ushbu paragrafda ba'zi kommutativ Banax algebralari biror kompakt Xausdorf topologik fazosidagi uzluksiz funksiyalar algebrasi sifatida ifodalanishi mumkin ekanligini ko'rsatamiz. kommutativ Banax algebrasi, undagi kompleks gomomorfizmlar to'plami bo'lsin. ning har bir elementi to'plamda ushbu formula yordamida funksiyani aniqlaydi.
Barcha funksiyalar to'plamini bilan belgilaymiz.
, dagi 4-teoremaning b) iborasiga asosan ixtiyoriy uchun va fazo ga qo'shma fazo ) . Agar dagi birlik sharni bilan belgilasak, ravshanki, .

Endi to'plamda topologiya kiritamiz. Buning uchun fazodagi -sust topologiyani, ya'ni topologiyani (8.4- -to'plamda ko'ramiz. Bu topologiyada elementning atroflari sistemasi quyidagi ko'rinishga ega edi:

\Delta to 'plam topologiyada kompaktdir va (1) formula bilan aniqlangan har bir funksiya to'plamda shu topologiyaga nisbatan uzluksizdir.
Isboti. 8.4-§ da isbotlaganimizdek, agar Banax fazosi separabel bo'lsa, dagi birlik shar topologiyada kompaktdir. Bu ibora ixtiyoriy Banax fazosi uchun ham o'rinli (bu yerda biz buning isbotiga to'xtalmaymiz). Demak, to'plam kompakt to'plamning qism to'plamidir. Shuning uchun to' plam topologiyada yopiq ekanligini ko'rsatish kifoya. deb faraz qilaylik. Demak, ning (2) ko'rinishdagi ixtiyoriy atrofida kompleks gomomorfizm mavjud. ning atrofini ko'rinishda olsak holda

Demak, munosabatni nazarda tutgan holda quyidagini hosil qilamiz:

Bundan ixtiyoriy kichik bo'lgani sababli Endi ning atrofini olsak, Bundan , ya'ni . Shunday qilib, yopiq va, demak, kompakt.
Endi funksiya da uzluksiz ekanligini ko'rsatamiz. elementning atrofini olsak, bu atrofda ya'ni funksiya nuqtada uzluksiz. elementga funksiyani mos qo'ysak, natijada aks ettirish hosil bo'ladi. Bu yerda Banax algebrasi kompakt Xausdorf topologik fazosidagi uzluksiz funksiyalar algebrasidir (11.1-§, 3- misol).