Banah algebralari

11.3-§. Ideallar, faktor-algebralar va kompleks gomomorfizmlar
Ushbu paragrafda kommutativ Banax algebrasidir.
Tarif. I to'plam ning vektor qism-fazosi bo'lsin. Agar ixtiyoriy va uchun bo'lsa, to'plam ideal deyiladi. Ravshanki, faqat elementdan yoki butun dan iborat to'plamlar ideallardir. Bunday ideallar trivial ideallar deyiladi. Biz trivial bo'lmagan ideallarni o'rganamiz.
Agar ideal ning o'zidan boshqa idealning xos qismi bo'lmasa, maksimal ideal deyiladi.
1-teorema. a) idealning hech bir elementi teskari elementga ega emas;
b) idealning yopilmasi ham trivial bo 'Imagan idealdir.
Isboti. a) agar biror uchun mavjud bo'lsa, u holda , demak, ixtiyoriy uchun , ya'ni . Bu esa ning trivial emasligiga zid;
b) ideal bo'lsa, ma'lumki, uning yopilmasi qism fazodir. Endi ixtiyoriy va elementlarni olamiz. Agar va bo'lsa, u holda va da ko'paytirish amali uzluksiz bo'lgani sababli . Demak, , ya'ni ideal. Endi faqat ekanligini ko'rsatish qoldi. 11.2- dagi 2-teoremaning 1-natijasiga asosan teskari elementga ega bo'lgan elementlardan iborat to'plam ochiq va a) ga asosan . Demak, , ya'ni
2-teorema. a) Banax algebrasining har qanday ideali biror maksimal idealning qismidir
b) ixtiyoriy maksimal ideal yopiqdir.
Isboti. a) biror ideal bo'lsin. Uni o' ichiga oluvchi ideallar to'plamini bilan belgilayliz. sistema " " munosabat yordamida qisman tartiblangan. Agar biror chiziqli tartiblangan qismi bo'lsa, ravshanki, idealdir. Ixtiyoriy uchun bo'lgani sababli , ya'ni Demak, har qanday chiziqli tartiblangan sistema yuqori chegaraga ega. Sorn lemmasiga asosan (6. 1-§) Q da maksimal element mavjud. Demak, maksimal ideal va ;
b) agar maksimal ideal bo'lsa, u holda 1 -teoremadagi b) ga asosan ham ideal va . Demak,
Natija. Banax algebrasida teskari elementga ega bo'lmagan har bir element biror maksimal idealda joylashgan. Xususan, agar maydon bo'lmasa, maksimal ideallar to'plami bo'sh emas. Darhaqiqat, agar uchun mavjud bo 'lmasa, holda to' plam idealdir. bo'lgani uchun ; so'ngra bo'lgani sababli . 2-teoremaga asosan shunday , maksimal ideal mavjudki, Banax algebrasida biror idealni olib, faktor-fazoni ko'ramiz (1.5- Bu faktor-fazoda ko'paytmani quyidagicha kiritamiz. va sinflardan va y vakillar tanlab ko'paytma deb x y elementni o' ichiga oluvchi sinfni aytamiz. Bu ko'paytma va vakillarga bog'liq emas. Darhaqiqat, agar , boshqa vakillar, ya'ni bo'lsa, holda

chunki -ideal. Ravshanki, kiritilgan amallarga nisbatan kommutativ algebra. Bu algebra X ning I ga nisbatan faktor-algebrasi deyiladi.