Banah algebralari

3-teorema. Banax algebrasida yopiq ideal bo 'lsa, u holda faktoralgebra ham Banax algebrasidir.
Isboti. Faktor-algebrada normani quyidagicha kiritamiz.

bu yerda .Dastavval (1) formula normani aniqlashini ko'rsatamiz. Ixtiyoriy uchun . Agar bo'lsa, u holda . Demak, shunday ketma-ketlik mavjudki, , ya'ni yopiq bo'lgani sababli , ya'ni . Shunday qilib, va . Agar bo'lsa, u holda

agar bo'lsa, ekanligi o’z-o’zidan ravshank. Ixtiyoriy uchun
va
. Endi ekanligini ko'rsatamiz, bo 'lgani sababli . Demak, , ya'ni . Agar bo'lganda edi, u holda ixtiyoriy natural son uchun bo'lgani sababli tenglik hosil bo'lar edi, bu esa munosabatga zid. Demak, . Nihoyat, to 'la ekanligini isbotlaymiz. ketma-ketlik shu fazoda fundamental bo’lsin. Ixtiyoriy natural son uchun shunday topiladiki,

tengsizlik ixtiyoriy natural son uchun bajariladi. Xususan, demak, shunday vakillar mavjudki, . Shunga o'xshash shunday vakillar topiladiki,

Demak, ketma-ketlik fazoda fundamental. Chunki ixtiyoriy k, t uchun

to"la bo'lgani sababli mavjud va

ya'ni . Olingan ketma-ketlik fundamental bo'lgani sababli ixtiyoriy uchun shunday natural son topiladiki, har qanday uchun . Demak,
.
Bundan bo'lgani . Demak, to "la.* Banax algebrasini kompleks sonlarning Banax algebrasiga aks ettiruvchi noldan farqli gomomorfizm kompleks gomomorfizm deyiladi.
4-teorema. Agar kompleks gomomorfizm bo "lsa, u holda
a) va mavjud bo'lsa, .
b) agar bo'lsa, holda , xususan, ixtiyoriy kompleks gomomorfizm uzluksizdir va; .
Isboti. a) Biror uchun bo 'lgani sababli
demak, . Agar uchun mavjud bo "lsa, u holda
ya'ni
b) ixtiyoriy elementni olamiz. Agar bo'lsa, u holda , 1-teoremaga asosan element mavjud, a) ga asosan , ya'ni va olingan ixtiyoriy bo'lgani sababli . Demak, bo'lgani uchun xususan, chegaralangan, ya'ni uzluksiz.
Izoh. 4-teoremaning isbotidan ravshanki, bu teoremada X kommutativ bo'lishi shart emas.
Quyidagi teoremada kompleks gomomorfizmlar va maksimal ideallar orasidagi bog'lanish ko'rsatiladi.