Banah algebralari

2-teorema. moslik gomomorfizmdir va
Isboti. Ixtiyoriy uchun ya'ni . Shunga o' xshash , . Demak, gomomorfizm. Endi (3) tengsizlikni isbotlaymiz. 11.3-dagi 5-teoremaning d) iborasiga ko'ra bo'lishi uchun tenglik biror uchun bajarilishi zarur va kifoya. Demak, to'plam funksiyaning qiymatlar to'plami bilan mos tushadi. Bundan va 11.2 $ dagi 4-teoremadan

Tarif. Banax algebrasining barcha maksimal ideallari kesishmasi radikal deyiladi.
Ixtiyoriy maksimal ideal uchun bo'lgani sababli . Agar radikal faqat elementdangina iborat bo'lsa, algebra yarimsodda algebra deyiladi.
Tarif. Agar kommutativ Banax algebrasida ixtiyoriy uchun tenglik o'rinli bo'lsa, X regulyar algebra deyiladi. 11.2- dagi 1,3 -misollardagi va algebralar yarimsodda va regulyar algebraga misol bo'ladi. Bu 11.3-, 1 -misoldagi iboradan bevosita kelib chiqadi.
3-teorema. a) moslik monomorfizm bo "lishi uchun yarimsodda algebra bo’lishi zarur va kifoya;
b) agar regulyar algebra bo 'lsa, holda o'zining algebradagi aksi, ya'ni bilan izometrik izomorf, xususan, yarimsodda algebradir.
Isboti. a) yarimsodda algebra bo"lsin. Agar uchun bo'lsa, u holda ixtiyoriy uchun , ya'ni har bir maksimal idealga tegishli, va demak, yarimsodda algebra bo' ' gani uchun .
Aksincha, moslik monomorfizm bo'lsin. Agar elementni olsak, u har bir maksimal idealga tegishli. Demak, ixtiyoriy uchun , ya'ni . Bundan monomorfizm bo'lgani uchun , ya'ni
b) regulyar algebra bo'1sin. tenglikdan bevosita
tenglik kelib chiqadi, ya'ni . Spektral radius haqidagi teoremaga
asosan 11.2-$ , 5-teorema)
Agar bo'lsa, u holda ixtiyoriy uchun , demak, , ya'ni . (4) tenglikka asosan va demak, , ya'ni -yarimsodda algebra. a) ga asosan o'zining dagi aksi bilan izomorf. So'ng 11.3- dagi 5- teoremaga asosan

Demak, izometrik izomorfizm.
11.3-§ da ko'rsatilganidek, kompleks gomomorfizmlar va maksimal ideallar orasida o'zaro bir qiymatli moslik mavjud. Demak, to'plam sifatida kompleks gomomorfizmlar to'plamini emas, balki maksimal ideallar to'plamini olish ham mumkin. Shuni nazarda tutib, yuqoridagi teoremalarni quyidagicha ifodalash ham mumkin.