Banah algebralari

2-teorema. Agar yarimsodda Banax algebrasi bo "lsa, holda dagi har qanday involyutsiya uzluksizdir.
Isboti. dagi ixtiyoriy ompleks gomomorfizmni olamiz. Ravshanki, ham X da kompleks gomomorfizmdir. Darhaqiqat,



Demak, 11.3-§ dagi 4-teoremadagi asosan uzluksiz. Endi bo’lsin. U holda ya'ni ixtiyoriy bo'lgani sababli yarimsodda algebra bo'lgani uchun . Demak, aks ettirishning grafigi yopiq. Yopiq grafik haqidagi teoremaga asosan (bu teoremaning isboti qo'shma chiziqli operatorlar uchun ham o'zgarishsiz o'tadi) bu aks ettirish uzluksizdir.
Tarif. involyutiv Banax algebrasida ixtiyoriy uchun tenglik o'rinli bo'lsa, algebra -algebra (yoki -algebra) deyiladi. Ushbu tengsizlikdan ravshanki, . Shu bilan birga , demak, va Aksincha, agar (2) va (3) tengliklar o'rinli bo'lsa, ravshanki,
Quyidagi teorema -algebralar nazariyasining eng muhim teoremalaridan biri.
3-teorema. (Gelfand-Naymark teoremasi). ixtiyoriy kommutativ algebra, undagi maksimal ideallardan iborat kompakt Xausdorf topologik fazosi bo 'lsin. Bu holda, moslik (11.4- -teorema) ni butun aks ettiruvchi izometrik izomorfizmdir va ixtiyoriy uchun
Xususan Ermit elementi bo 'lshii uchun haqiqiy funksiya bo’lishi zarur va kifoya.
Isboti. Agar Ermit elementi bo'lsa, ixtiyoriy uchun haqiqiy son ekanligini ko'rsatamiz. haqiqiy son uchun ushbu ite ko'rinishdagi elementlarni olamiz.
Agar haqiqiy sonlar ) bo'lsa, u holda Demak,

ya’ni ixtiyoriy haqiqiy son uchun Bu yerda chekli, ixtiyoriy bo' sababli , ya'ni haqiqiy son. Shunday qilib, agar Ermit elementi bo"lsa, u holda ixtiyoriy uchun - haqiqiy son, ya'ni haqiqiy funksiya. Endi ixtiyoriy bo"lsa, u holda va . Demak, shu bilan (4) isbotlandi.
Biror elementni olsak, element Ermit elementidir, demak, . Induksiya bo'yicha tenglik isbotlanadi. Spektral radius haqidagi teoremaga asosan

ya'ni . Endi tenglikdan va (4) munosabatdan tenglikni hosil qilamiz. Demak, ya'ni . Shunday qilib, moslik ni ga aks ettiruvchi izometrik izomorfizmdir. fazo to'la bo'lgani sababli algebra algebrada yopiq tenglikni isbotlash uchun to'plam da zich ekanligini isbotlash kifoya. Buning uchun quyidagi isbotsiz keltirilgan teoremadan foydalanamiz.
Stoun-Veyershtrass teoremasi. algebraning (11.1-, 3 -misol.) qism algebrasi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:;
a) birlik funksiya A ga tegishli;
b) ixtiyoriy uchun shunday mavjudki,
c) ixtiyoriy uchun .
U holda A qism algebra ning hamma yerida zich.
Endi 3-teoremaning isbotini yakunlash uchun qism algebra
uchun a)-c) shartlar bajarilishini tekshirish kerak. a) o' ravshan, chunki va ;
b) ixtiyoriy uchun shunday mavjudki , ya'ni ;
c) ixtiyoriy uchun (4) ga asosan , ya'ni .
Stoun-Veyershtrass teoremasining hamma shartlari bajariladi. Demak,