Балашовский филиал

Задача 2. Фирма, занимающаяся грузовыми перевозками, получила следующий заказ. На двух товарных складах находится сахар в количестве 110 и 100 т, который должен быть доставлен трем оптовым покупателям в количестве 60, 80 и 70 т соответственно. Как следует организовать доставку сахара оптовым покупателям, чтобы суммарный доход от перевозок был максимальным, если доход в условных денежных единицах от каждой перевозки 1 т сахара задан матрицей
?
Решение. Общий объем запасов на складах совпадает с общим объемом запросов покупателей:
110 + 100 = 60 + 80 + 70 (т).
Следовательно, данная задача является закрытой транспортной задачей. Обозначим x_ij количество сахара (т), поставляемого с i-го (i = 1, 2) склада к j-му (j = 1, 2, 3) покупателю. Тогда соответствующая транспортная задача может быть сформулирована следующим образом.
Максимизировать суммарный доход от перевозок:
L(X) = 15x₁₁ + 11x₁₂ + 8x₁₃ + 6x₂₁ + 2x₂₂ + 4x₂₃  max
при условии, что
x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 110,
x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 100,
x₁₁ + x₂₁ = 60,
x₁₂ + x₂₂ = 80,
x₁₃ + x₂₃ = 70,
x₁₁ 0, x₁₂ 0, x₁₃ 0, x₂₁ 0, x₂₂ 0, x₂₃ 0.
Введем новые переменные u₁, u₂, положив u₁ = x₁₁, u₂ = x₁₂, и выразим через них остальные. Заметим, что получили транспортную задачу, ограничительные условия которой совпадают с ограничительными условиями примера 4 из п. 3. Поэтому, обратившись к решению этого примера, получим
L(U) = 5u₁ + 5u₂ + 1 240 max

_u
1 0, u₂ 0.
Ограничительные условия определяют на плоскости многоугольник ABDEFG (Error: Reference source not found), вершины которого имеют соответственно координаты: (0; 40), (0; 80), (30; 80), (60; 50), (60; 0), (40; 0). Строим вектор (5; 5). Проводим линию уровня L₀. Находим значения переменных u₁, u₂, при которых целевая функция принимает максимальное значение. Перемещаем L₀ в направлении вектора . Из Error: Reference source not found видно, что максимального значения L(U) достигает в любой точке отрезка DE. Поэтому L_max= L(D) =
= 5 · 30 + 5 · 80 + 1 240 = 1 790. Задача имеет альтернативный оптимум и ее общее решение находится по формуле:

Таким образом,
Полученный ответ запишем в виде матрицы

При таком плане перевозок суммарный доход будет максимальным,
а именно L_max=1 790.
Таким образом, фирма может различными способами организовать доставку сахара покупателям, при которых ее суммарный доход будет максимальным. Укажем некоторые из этих способов:

Первый из этих способов получен при λ = 0, второй — при λ = 1/3, третий — при λ = 0,5, четвертый — при λ = 1.