Балашовский филиал

Задача 3. АООТ «Прицеп» выпускает дачный инвентарь, а именно грабли, мотыги и лопаты. При этом для изготовления одного изделия используется сталь-65Г в количестве 1,7, 0,8 и 1,5 кг соответственно. Запасы стали-65Г на складе составляют 1,3 т на месяц. Анализ рынка сбыта показал, что за год АООТ «Прицеп» реализует не более 20 тыс. грабель, 15 тыс. мотыг и 1 тыс. лопат, причем выпуск одного изделия приносит доход 36, 24 и 40 руб. соответственно. Требуется составить план производства, обеспечивающий АООТ «Прицеп» наибольший доход.
Решение. Обозначим через x₁, x₂ и x₃ соответственно количество грабель, мотыг и лопат (шт.), выпускаемых АООТ «Прицеп» в месяц. Составим математическую модель задачи, выразив ограничения сверху по ежемесячному выпуску продукции в целых числах. Для этого поделим 20 000, 15 000 и 1 000 на 12 и округлим до ближайшего целого числа.
Целевая функция имеет вид:
L(x₁, x₂, x₃) = 36x₁ + 24x₂ + 40x₃ → max,
при ограничениях:

x₁ 0, x₂ 0, x₃ 0.
Введем в пространстве прямоугольную систему координат Ox₁x₂x₃. Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе ограничений, т. е. ОДР, образует выпуклый многогранник. Грани этого многогранника расположены на плоскостях, уравнения которых получаются при замене неравенств системы точными равенствами. На Error: Reference source not found изобразим многогранник решений, получающийся в результате как пересечение полупространств, на которые делит пространство каждая из указанных плоскостей. Самой ближней к началу координат пунктиром показана поверхность (линия) уровня L₀ = 12 000, и вектор 10 , перпендикулярный ей. Вектор 10 изображен вместо вектора для удобства, так как вектор на этом чертеже будет слишком мал. Будем перемещать эту линию уровня в сторону возрастания целевой функции, т. е. по направлению вектора 10 . Из взаимного расположения ОДР и линий уровня ясно, что наибольшего значения целевая функция будет достигать в наиболее «выступающих», т. е. удаленных от начала координат точках ОДР: A, B, C или D. Найдем их координаты и значения целевой функции в этих точках. Точка А имеет координаты x₁, x₂ и x₃, удовлетворяющие системе

откуда получаем (в целых числах) x₁ = 765 и L₁ = 36x₁ + 24x₂ + 40x₃ = 27 540. Аналогично, координаты точки В удовлетворяют системе

откуда x₁ = 691 и L₂ = 36x₁ + 24x₂ + 40x₃ = 28 196. Координаты точки С удовлетворяют системе

откуда x₁ = 103 и L₃ = 36x₁ + 24x₂ + 40x₃ = 37 028. Координаты точки D удовлетворяют системе

о
ткуда x₁ = 176 и L₄ = 36x₁ + 24x₂ + 40x₃ = 36 336. Следовательно, наибольшего значения целевая функция достигает в точке С. Оптимальным будет выпуск (в целых числах) 103 грабель, 1 250 мотыг и 83 лопат в месяц. При этом прибыль составит 37 028 руб. На Error: Reference source not found изображены поверхности уровня L₁ и L₃. Поверхности L₂ и L₄ находятся очень близко
к указанным и не изображены, чтобы не загромождать чертеж.