Балашовский филиал

6. Применение графического метода
при проведении экономического анализа ЗЛП
(на примере задачи регионального уровня)

При решении задач линейного программирования часто важен не только полученный результат, но и его экономический анализ: понимание взаимосвязи конкретных производственных факторов; значимость ограничительных условий, влияющих на эффективность получаемых решений.
З
Таблица 4

Изделия	Сырье, кг
	Сталь-45	Чугун	Бронза	Сталь-3
Задвижки	3	0	2	0,5
Тиски слесарные	4	1	0	2

адача 4. АООТ «Прицеп» выпускает изделия двух типов: задвижки
и тиски слесарные. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья задан в таблице 4.
Суточные запасы стали-45 составляют 322 кг, чугуна — 70 кг, бронзы — 180 кг, стали-3 — 100 кг. Розничная цена одной задвижки равна 60 руб., тисков — 100 руб.
По этим исходным данным требуется: составить план производства, обеспечивающий АООТ «Прицеп» наибольшую выручку; выяснить, как влияет на оптимальное решение изменение запасов исходного сырья;
а также провести анализ предложенной ситуации по диапазону розничных цен на изделия, при котором не происходит изменения оптимального решения.
Решение. Обозначим через x₁ и x₂ суточные объемы выпуска задвижек (шт.) и слесарных тисков (шт.) соответственно. Составим математическую модель задачи.
Целевая функция имеет вид:
L(X) = 60x₁ +100x₂ → max,
при ограничениях:

x₁ 0, x₂ 0.
С учетом этих ограничений сочетание объемов выпуска задвижек
и слесарных тисков должно находиться внутри области допустимых решений OABDE (Error: Reference source not found), являющейся «плацдармом» для дальнейших действий руководителей АООТ «Прицеп». Для отыскания точки, в которой находится оптимальное решение, строим вектор, показывающий направление самого быстрого изменения целевой функции (это вектор
с координатами (60; 100)), и линию уровня L₀, перпендикулярную указанному вектору. Перемещая прямую L₀ по направлению вектора , найдем точку выхода линии уровня из области допустимых решений. Ею является точка B, координаты которой — (61; 34,75) — определяются как пересечение прямых, заданных уравнениями 3x₁ + 4x₂ = 322 и 0,5x₁ + 3x₂ = 100.
С
ледовательно, L_max= L(B) = 60 ∙ 61 + 100 ∙ 34,75 = 7 135. Таким образом, АООТ «Прицеп» должно выпускать в сутки 61 задвижку и 34,75 слесарных тисков. С этими данными по выпуску выручка от реализации составит 7 135 руб. Если выпускать в сутки 34,75 тисков нельзя, то этот результат можно интерпретировать так: оптимальным является выпуск 34,75 ∙ 4 = 139 тисков за 4 суток.
Экономический анализ. Определим, как влияет на оптимальное решение увеличение или уменьшение запасов исходного сырья. Для анализа задачи примем, что неравенства системы ограничений могут быть активными или пассивными. Если прямая, являющаяся границей множества решений некоторого неравенства, проходит через точку, в которой находится оптимальное решение, то это неравенство представляет собой активное ограничение. В противном случае неравенство относится к пассивному ограничению. Если ограничение активное, то соответствующий ресурс является дефицитным, так как он используется полностью. Если ограничение пассивное, то оно имеется на предприятии в избытке.
Рассмотрим увеличение ресурса правой части ограничения 3x₁ +
+ 4x₂ 322 по стали-45 (Error: Reference source not found).
П
ри перемещении прямой 3x₁ + 4x₂ = 322 параллельно самой себе до точки F(90; 27,5) — точки пересечения прямых 0,5x₁ + 3x₂ = 100 и 2x₁ = 180 — ограничение x₁ + 4x₂ 322 будет оставаться активным, при этом, если АООТ «Прицеп» будет выпускать в сутки 90 задвижек и 27,5 слесарных тисков, величина выручки составит L(90; 27,5) = 8 150 (руб.), что на 1 015 руб. выше реальной выручки. Это может произойти за счет изменения запасов стали-45 (см. описанное выше перемещение прямой 3x₁ + 4x₂ = 322 до точки F). Для такой выручки предельно допустимый запас стали-45 нужно увеличить до 3 · 90 + 4 · 27,5 = 380 (кг).
Рассмотрим увеличение ресурса правой части ограничения 0,5x₁+2x₂ 100 по стали-3 (Error: Reference source not found).
При перемещении прямой 0,5x₁ + 2x₂ = 100 параллельно самой себе до точки G(14; 70) — точки пересечения прямых 3x₁ + 4x₂ = 322 и x₂ = 70 — ограничение 0,5x₁ + 2x₂ 100 будет оставаться активным. При этом величина выручки составит L(14; 70) = 7 840 (руб.), что на 705 руб. выше
реальной. Это может произойти за счет изменения запасов стали-3 (см. перемещение прямой 0,5x₁ + 2x₂ = 100 параллельно самой себе до точки G). Для такой выручки предельно допустимый запас стали-3 нужно увеличить до величины 0,5 · 14 + 2 · 70 = 147 (кг).
Р

ассмотрим возможность изменения правой части пассивного ограничения 2x₁ 180 по бронзе (Error: Reference source not found1). Прямую 2x₁ = 180 можно перемещать параллельно самой себе влево, не изменяя величины реального дохода, до точки B(61; 34,75). При этом предельно допустимый суточный запас бронзы можно уменьшить до значения 2 · 61 = 122 (кг).
Теперь рассмотрим возможность изменения правой части пассивного ограничения _x2 70 по чугуну (Error: Reference source not found). Не изменяя оптимального решения, прямую _x2 = 70 можно перемещать параллельно самой себе до точки B(61; 34,75). Это означает, что предельно допустимый суточный з
апас чугуна можно уменьшать до 34,75 кг.
Проведем анализ предложенной ситуации по диапазону розничных цен на изделия, при котором не происходит изменения оптимального решения.
И зменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон линии уровня, уравнение которой записывается в общем виде как c₁x₁ + c₂x₂ = const. Оптимальное решение будет оставаться неизменным, если угловой коэффициент k линии уровня, проходящей через точку B, не будет выходить за границы отрезка [k₁; k₂], где k₁ и k₂ — угловые коэффициенты прямых BD и AB соответственно.
Таким образом, –3/4≤ k ≤ –1/4.
Рассмотрим изменение коэффициента целевой функции у переменной x₁ (коэффициент у x₂ оставим без изменения). Имеем –3/4 ≤ –c₁/100 ≤ –1/4 или 25 ≤ c₁ ≤ 75.
Таким образом, оптимальное решение не изменится, если розничная цена одной задвижки будет лежать в диапазоне от 25 до 75 руб., в этом случае выручка предприятия составит от 5 000 до 8 050 руб.
Теперь рассмотрим изменение коэффициента целевой функции у переменной x₂, оставляя коэффициент у x₁ неизменным. В этом случае –3/4 ≤ –60/c₂ ≤ –1/4, или 80 ≤ c₂ ≤ 240. Следовательно, оптимальное решение не изменится, если розничная цена одних слесарных тисков будет лежать в диапазоне от 80 до 240 руб. В этом случае выручка АООТ «Прицеп» может составить от 6 440 до 12 000 руб.