Балашовский филиал

4. Решение ЗЛП с тремя переменными

Применение графического метода возможно и при решении ЗЛП, система ограничений которых содержит три переменные. В этом случае описанный выше алгоритм остается в силе, только линии уровня следует заменить на поверхности уровня и учесть, что, если в случае двух переменных экстремальные значения (конечно, при условии их существования) целевой функции достигались в вершинах многоугольника решений
в двумерном пространстве, то в случае трех переменных они достигаются в вершинах многогранника решений в трехмерном пространстве.
Напомним, что поверхностью уровня функции f(x₁, x₂, x₃) называется множество всех точек пространства R³, в которых функция принимает некоторое постоянное значение. Согласно этому определению, для целевой функции L(X) = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + c произвольная поверхность уровня L₀ — это плоскость с вектором нормали (c₁, c₂, c₃).
Рассмотрим применение алгоритма на конкретном примере.
Пример 5. Найти значения переменных x₁, x₂, x₃, при которых функция L(X) = 3x₁ – x₂ + 2x₃ принимает экстремальные значения при условии, что:

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0.


Решение. Введем в пространстве прямоугольную систему координат Ox₁x₂x₃.
1. Начнем с решения максимизационной задачи.
Шаг 1. Находим ОДР.

• 
  Построим граничные плоскости x₃ = 4 и x₁ + 2x₂ + x₃ = 5. Первая плоскость проходит через точку (0; 0; 4) параллельно плоскости Ox₁x₂. Уравнение второй плоскости представим уравнением в отрезках: + (это возможно сделать в силу того, что плоскость
  не проходит через начало координат). Следовательно, означенная плоскость пересекает оси координат в точках (5; 0; 0), (0; ; 0) и (0; 0; 5).
  
• 
  Теперь определим соответствующие полупространства. Подставляем координаты точки (0; 0; 0) в неравенство x₃ Они ему удовлетворяют. Следовательно, выбираем полупространство, содержащее указанную точку. Для определения полупространства, задаваемого неравенством x₁ +
  + 2x₂ + x₃ , подставляем координаты той же самой точки. Они удовлетворяют и ему. Следовательно, выбираем полупространство, также содержащее начало координат.
  
• 
  С
  учетом условий x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0 находим пересечение полупространств. Им является изображенный на Error: Reference source not found многогранник AOBA₁O₁B₁. Полученный многогранник и есть искомая ОДР.