Обыкновенные дифференциалъные уравнения

Глава 7
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ

20.3. ОДУ с разделяющимися переменными
ОДУ, приводящиеся к виду

1. 
   ( , интегрируем) ;
   

б) ()



20.4. Однородные ДУ порядка
О: однородная функцияго измерения для
однородное ДУ
Замена
ОДУ с разделяющимися переменными .
20.5. Линейные ДУ I порядка
.Замена

1) ОДУ с разделяющимися переменными, ищем частное решение
2) ОДУ с разделяющимися переменными, ищем общее решение

1.
Решение: Выразим из уравнения производную . Это ОДУ с разделяющимися переменными .Заменим производную отношением дифференциалов и затем разделим переменные:
, интегрируем
решение данного ОДУ.
2.
Решение: Это задача Коши для ОДУ с разделяющимися переменными (см. ОК, разд. 20.2, 20.3б).Сначала найдем общее решение ДУ путем разделения переменных и последующего интегрирования:

общий интеграл. Далее, используя начальное условие находим
. Тогда или решение задачи Коши, т.е. частное решение данного ОДУ, удовлетворяющее начальному условию.
4. Материальная точка массой г движется прямолинейно под действием силы , прямо пропорциональной времени , отсчитываемому от ,и обратно пропорциональной скорости движения . Известно, что при с скорость , Н. Найти скорость через минуту после начала движения.
Решение: Согласно второму закону Ньютона . С другой стороны, по условию задачи приходим к дифференциальному уравнению
, где кг, а коэффициент пропорциональности находим из условия получим ДУ разделяющимися переменными:
.Подставив найдем значение :
и
м/с