Обыкновенные дифференциалъные уравнения

Задачи для самостоятельного решения
18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27)
28) 29) 30)
31) Эластические свойства мышц приблизительно характеризуются уравнением биомеханики где общая масса мышц, параметры и определяют меру зависимости напряжения мышц от длины и скорости ее изменения Найти исследовать ее механический смысл.
32) Уравнение кинетики последовательных обратимых реакций имеет вид

где Найти зависимость количества вещества от времени .
33) Тело массой , подвешенное на пружине, находится в состоянии равновесия (положение ). Толочком оно выводится из состояния равновесия, при этом ему сообщается скорость . Найти закон движения тела, если жесткость пружины равна .

Задания 4. Решить систему дифференциальных уравнений:

1	1	1	3	-1
2	2	-1	3	-2
3	2	-1	5	-2
4	1	-1	-4	1
5	4	-1	1	2	0
6	1	-1	3	1	0	0
7	1	3	1	-1
8	2	3	1	-2
9	-2	-1	5	2	0
10	1	-4	-1	1	0
11	2	-1	1	4	0
12	1	-3	1	1	0
13	-1	1	3	1
14	-2	-1	3	2
15	2	-5	1	-2	0
16	2	2	3	1	0	0
17	4	1	-1	2		0
18	1	1	-3	1	0
19	-1	3	1	1
20	-2	3	-1	2		0
21	2	1	-5	-2	1
22	1	2	3	2		0
23	2	1	-1	4
24	1	3	-1	1	1
25	1	3	2	2	0
26	2	3	1	4	0	0
27	-3	-1	1	-1	0	0
28	1	-2	1	4		0
29	0	1	2	1		0
30	-5	-1	1	-3		0

Задание № 5.
Здесь цифры номера группы, номер студента по списку.


Задача о концентрации раствора
В резервуаре находится литров водного раствора, содержащего кг соли. Вода вливается в резервуар со скоростью и вытекает со скоростью , причем концентрация раствора поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет содержаться в резервуаре по истечении одного часа?

Задача об охлаждении тела
Тело охлаждается за минут от до . Температура окружающей среды поддерживается . Когда тело остынет до ? ( Скорость охлаждения пропорциональна разности температуры тела в данный момент времени и температуры среды.). Считаем, что
Задача о движении
Моторная лодка движется прямолинейно со скоростью км/ч .При движении она испытывает сопротивление воды, сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости лодки с коэффициентом пропорциональности где масса лодки. Через сколько времени скорость лодки уменьшится в раз и какой путь пройдет за это время лодка?
Считаем, что



Теоретические вопросы

1. 
   Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения, задачи Коши, общее решение?
   
2. 
   Какие типы ОДУ 1-го порядка решаются в квадратурах?
   
3. 
   Какие типы ОДУ 2-го порядка допускают понижение порядка?
   
4. 
   Какова структура общего решения линейного ОДУ 2-го порядка?
   
5. 
   Как находится решение линейных ОДУ 2-го порядка постоянными коэффициентами?
   

Ответы к разд. 20-22
20. ОДУ I порядка
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Указание: Решение сводится к решению задачи Коши коэффициент определяется из условия 9) Указание: используем закон спроса и предложения: причем 10) 11) 12)
13) 14) 15) 16) 17)
18) 19) 20) 21)
22) 23) 24) 25)

21.ОДУ порядка
1) 2) 3)
4) 5) 6) 7)
8) 9) 10) 11)
12) 13) 14)
15) 16) 17)
18)
19) 20) 21) 22)
23) 24)
25) 26)
27) 28) ; 29)
30) 31) корни характеристического уравнения. В зависимости от значений параметров и сокращение мыщц может протекатъ как затухающее, сверхзатухающее или незатухающее вынужденное колебание
32) 33) . Указание: По закону Ньютона , т.е. имеем задачу Коши:
22.ОДУ высших порядков и системы ДУ
1) 2)
3) 4) 5)
6)

0	-1	0,2000	5,000
1	-0,8	1,2000	0,6667
2	-0,6	1,33333	0,4500
3	-0,4	1,42333	0,2810
4	-0,2	1,47954	0,1352
5	0	1,50657	0,0000
6	0,2	1,50657	-0,1328
7	0,4	1,4800	-0,2703
8	0,6	1,42597	-0,4208
9	0,8	1,34182	-0,5962
10	1	1,22258	-0,81794

7)

0,00	1,00	0,100	0,200	1,100	0,260	1,130	0,153	1,153	0,311
0,20	1,223	0,300	0,325	1,385	0,397	1,421	0,262	1,4849	0,457
0,40	1,573	0,500	0,475	1,810	0,562	1,854	0,385	1,958	0,632
0,60	2,073	0,700	0,655	2,400	0,760	2,453	0,525	2,5982	0,840
0,80	2,750	0,900	0,870	3,185	0,997	3,249	0,685	3,4353	1,087
1	3,637