Балашовский филиал

Шаг 2. Строим вектор (0; 5).
Шаг 3. Проводим линию уровня L₀ .
Линия уровня задается уравнением 5x₂ = const. На Error: Reference source not found построена линия уровня, соответствующая значению 15.
Ш
аг 4. Перемещаем L₀ по направлению вектора . Результатом такого перемещения является прямая L₀⁺. На ней находится точка A. Следовательно, она и является точкой максимума.
Шаг 5. L_max = L(A) = 5 · 5 = 29 .
2. Теперь найдем значения переменных x₁, x₂, при которых целевая функция минимизируется. Шаги 1—3 те же, что и в максимизационной задаче. Поэтому начинаем с шага 4.
Шаг 4. Перемещаем линию уровня в направлении, противоположном вектору . Из Error: Reference source not found видно, что наименьшее значение L(X ) на ОДР достигается на отрезке OD.
Шаг 5. Поэтому (0; 0), (6; 0) — оптимальные решения соответственно в угловых точках O и D области допустимых решений. Тогда общее решение _опт=(1 – λ)(0; 0) + + λ(6; 0) = (0; 0) + (6λ; 0) = (6λ; 0), где 0 λ 1. При этом L_min= 0.
Пример 3. Найти значения переменных, при которых функция
L(X) = 5,2x₁ – x₂ принимает экстремальные значения при условии, что:

x₁ 0, x₂ 0.
Решение.
Введем на плоскости прямоугольную систему координат Ox₁x₂.
1. Начнем с решения с максимизационной задачи.
Шаг 1. Находим ОДР.

• 
  Сначала построим граничные прямые (по точкам их пересечения с координатными осями):
  

2x₁ + 5x₂ = 10 по точкам (5; 0),(0; 2),
x₁ – 3x₂ = 3 по точкам (3; 0),(0; –1),
–x₁ + x₂ = 1 по точкам (–1; 0),(0; 1).

• 
  Затем, используя точку О(0; 0), определим соответствующие полуплоскости (Error: Reference source not found). Пересечением полученных полуплоскостей является неограниченная многогранная область, изображенная на Error: Reference source not found. Это
  и есть искомая ОДР, так как полученная область располагается в первой четверти плоскости Ox₁x₂.